Il faut donc démontrer :

` [bbP^2, bbX] = bbP[bbP, bbX] + [bbP, bbX]bbP `

D'après le volume 1, page 192, la définition des crochets de Poisson est la suivante :

` {A, B} = (delA)/(delq)(delB)/(delp)- (delA)/(delp)(delB)/(delq) `

et d'une manière plus générale :

` {A, B} = sum_i((delA)/(delq_i)(delB)/(delp_i)- (delA)/(delp_i)(delB)/(delq_i)) `

Dans notre cas la formule simple suffit.

Calculons d'abord l'expression suivante :

`color(blue) ( {AC, B} ) = (del(AC))/(delq)(delB)/(delp)- (del(AC))/(delp)(delB)/(delq) `

` = ( A(delC)/(delq) + C(delA)/(delq) )(delB)/(delp) - ( A(delC)/(delp) + C(delA)/(delp) )(delB)/(delq) `

` = (A (delC)/(delq)(delB)/(delp)- A (delC)/(delp)(delB)/(delq) ) + (C (delA)/(delq)(delB)/(delp)- C(delA)/(delp)(delB)/(delq) ) `

` = A{C, B} + C{A, B} color(blue) (= A{C, B} + {A, B}C )`

On peut maintenant se rappeler la correspondance formelle entre crochets de Poisson et commutateurs.

Elle nous a été indiqué au chapitre 4 page 110 :

` [bbF, bbG]   <=>   i ℏ {F, G}`

La formule démontrée au-dessus est applicable à condition des se souvenir que les opérateurs ne commutent pas.

Donc :

`color(blue) ( "["bbP^2, bbX"]" )= [bbPbbP, bbX] `

`color(blue) ( = bbP[bbP, bbX] + [bbP, bbX]bbP )`  ce que l'on voulait démontrer.