Rappel :

L'appareil A a préparé le spin suivant l'axe Oy avec   ` sigma_y=-1` et donc le spin est exprimé par `| i >` .

Si ensuite on mesure le spin le long de l'axe Oz, il a autant de chances d'être "up" (` | u >`) que "down" (`| d >`) ,

c'est à dire 1 chance sur 2 (1/2) .

Le spin s'exprime par ` |i> = alpha_(i,u)|u> + alpha_(i,d)|d>`

donc ` alpha_(i,u)alpha_(i,u)^** = 1/2` et ` alpha_(i,d)alpha_(i,d)^** = 1/2` aussi, puisque ` alpha_(i,u)alpha_(i,u)^** ` exprime la probabilité d'être "up" (` | u >`) et ` alpha_(i,d)alpha_(i,d)^** `exprime la probabilité d'être "down" (`| d >`).

Dans les équations (2.8) on a ` < i|u"><" u|i> = 1/2`,

mais dans l'écriture des composantes sous différentes formes, on retrouve bien :

` < u|i> = < u|A>` puisque `A=i` (le vecteur "in", pas l'Imaginaire) sous la forme (2.1) page 38

` < u"|"i> = alpha_u `    sous la forme (2.1) page 38)

` < u"|"i> = alpha_(i,u)`  avec notre notation

` < u"|"i> = alpha`     avec la notation de cet exercice 2.3

et les formes conjuguées :

` < i"|"u> = < u"|"i>^** = alpha_u^** `     avec la forme (2.1)

` < i"|"u> = < u"|"i>^** = alpha_(i,u)^**`  avec notre notation

` < i"|"u> = < u"|"i>^** = alpha^**`     avec la notation de cet exercice 2.3

donc :` < i|u "><"u|i > = alpha_(i,u)^**alpha_(i,u) =``color(blue) ( alpha^** alpha = 1/2)`  ce que l'on voulait démontrer.

De la même manière on trouve (toujours pour `sigma_y = -1`) :

` < i|d "><"d|i > = alpha_(i,d)^**alpha_(i,d) =``color(blue) (beta^**beta = 1/2)`

Et avec le spin préparé le long de Oy avec `sigma_y = +1` et exprimé par ` |o>`, on a :

` < o|u "><"u|o > = alpha_(o,u)^**alpha_(o,u) =``color(blue) ( gamma^**gamma = 1/2)`

` < o|d "><"d|o > = alpha_(o,d)^**alpha_(o,d) =``color(blue) ( delta^**delta = 1/2)`

On part de la première équation (2.9) `color(#3782c8) ( < o|r"><"r|o> = 1/2 )` et on développe :

` "|"o> =alpha_(o,u)|u> + alpha_(o,d)|d>` et

` "|"r> =alpha_(r,u)"|"u> + alpha_(r,d)"|"d> = 1/sqrt 2 "|"u>+1/sqrt 2 "|"d>`  puisqu'on l'a déjà calculé auparavant (voir Complément 2.1 ).

`< o"|"r> = 1/sqrt 2 alpha_(o,u)^** + 1/sqrt 2 alpha_(o,d)^**`

`< r"|"o> = < o"|"r>^** = 1/sqrt 2 alpha_(o,u) + 1/sqrt 2 alpha_(o,d)`

Donc    ` < o|r"><"r|o> = 1/sqrt 2 1/sqrt 2 color(#6ace3b) ( alpha_(o,u)alpha_(o,u)^**) + 1/sqrt 2 1/sqrt 2 alpha_(o,u)alpha_(o,d)^** + 1/sqrt 2 1/sqrt 2 alpha_(o,d)alpha_(o,u)^** + 1/sqrt 2 1/sqrt 2 color(chocolate) ( alpha_(o,d)alpha_(o,d)^** )`

et puisque   `color(#6ace3b) ( alpha_(o,u)alpha_(o,u)^** = 1/2 )`  et  `color(chocolate) ( alpha_(o,d)alpha_(o,d)^** = 1/2 )`

il vient :   `color(#3782c8) ( < o|r"><"r|o> ) = 1/2 color(#6ace3b) (1/2) + 1/2 alpha_(o,u)alpha_(o,d)^** + 1/2 alpha_(o,d)alpha_(o,u)^** + 1/2 color(chocolate) (1/2) = color(#3782c8) (1/2) `

et la partie droite de l'égalité devient :

` 1/2 alpha_(o,u)alpha_(o,d)^** + 1/2 alpha_(o,d)alpha_(o,u)^** = color(#3782c8) (1/2) - color(#6ace3b) (1/4) - color(chocolate) (1/4) = 0 `

d'où  :

`alpha_(o,u)alpha_(o,d)^** + alpha_(o,d)alpha_(o,u)^** = 0`

```color(blue) (gammadelta^** + deltagamma^** = 0)`   ce que l'on voulait démontrer.

De la même manière :

` "|"i> =alpha_(i,u)|u> + alpha_(i,d)|d>` et

` "|"r> = 1/sqrt 2 "|"u>+1/sqrt 2 "|"d>`

`< i"|"r> = 1/sqrt 2 alpha_(i,u)^** + 1/sqrt 2 alpha_(i,d)^**`

`< r"|"i> = < i"|"r>^** = 1/sqrt 2 alpha_(i,u) + 1/sqrt 2 alpha_(i,d)`

d'où   :

`alpha_(i,u)alpha_(i,d)^** + alpha_(i,d)alpha_(i,u)^** = 0`

```color(blue) (alphabeta^** + betaalpha^** = 0)`   ce que l'on voulait démontrer.

Montrons que ` alpha^**beta` et `gamma^**delta` sont purement imaginaires.

Dans b) il a été montré que ` alpha^**beta + alpha beta^** = 0`

` alpha beta^**` est conjugué de ` alpha^**beta` puisque `(alpha^**beta)^** = alpha beta^**`

On a donc ` alpha beta^** + (alpha beta^**)^** = 0`

mais `alpha beta^** in CC` et est donc de la forme `z = a + ib` avec `z^** = a - ib`

et `z + z^** = a + ib + a - ib = 2a` .

Si `z + z^** = 2a = 0`  alors `a=0`   et   `z = ib`   est un Imaginaire pur .

donc ```color(blue) (alpha^** beta)` est un Imaginaire pur.

De la même manière ` gammadelta^** = (gamma^**delta)^**`, `gamma^**delta + gammadelta^** =gamma^**delta + (gamma^**delta)^** =0` et ```color(blue) (gamma^**delta)` est un Imaginaire pur.

Montrons que si `alpha^**beta` est Imaginaire pur, alors ` alpha` et ` beta` ne peuvent être réels simultanément.

` alpha` et ` beta in CC`,

Soient ` alpha` et ` beta` réels tous les deux :

` alpha = a + ib`  avec `b=0`  et

`beta = c + i""d`  avec `d=0`

donc `color(blue) (alpha^**beta = ac)`  est réel, ce qui contredit l'hypothèse de départ et indique bien que `color(blue) (alpha)` et `color(blue) (beta)` ne peuvent être réels simultanément. .

En allant plus loin :

si  ` alpha = a + ib`  avec `a`  et  `b!=0`

et  `beta = c + i"d"`  avec `d=0`

alors `alpha^**beta = (a-ib)c = ac - icb`

donc ` ac = 0`  puisqu'on doit avoir un imaginaire pur, et `a=0` puisque `c!=0`

ce qui donne  `color(blue) (alpha=ib)`  un Imaginaire pur

et  `color(blue) (beta=c)`  un Réel pur.

ou l'inverse `alpha=a,  beta=i"d"`, toujours pour `alpha^**beta` imaginaire pur.

Le raisonnement est le même pour `gamma^**delta` imaginaire pur.