Recherche du coefficient de normalisation ` A = 1/sqrt(2 pi ℏ `

Ce coefficient de normalisation apparait dans l'expression de la valeur propre   ` psi_p(x) `  de l'opérateur `\ bbP\ ` quantité de mouvement, page 249, donc une mesure possible de cet opérateur :

` psi_p(x) = A\ e^(frac(ipx)(ℏ))`

Avertissement :

L'obtention, qualifiée de "subtile" par Léonard Susskind, de ce coefficient de normalisation, s'est avérée assez ardue pour ma part et je vous livre le cheminement tel quel.

Les éléments que j'ai trouvés permettent effectivement d'arriver au résultat, mais au passage il faudra aborder quelques points nouveaux, notamment les transformées et les intégrales de Fourier, si l'on veut suivre plus complètement le raisonnement. C'est faisable car ce sont ici des utilisations simples.

Après ces compléments, la démonstration sera donnée par un chapitre du livre "Introduction à la Mécanique Quantique", de M. Charles Antoine chez Dunod.

Je trouve personnellement que ce livre est une suite très abordable après le minimum que Léonard Susskind nous a inculqué.

Cerises sur le gâteau, il y a des exercices résolus.

Donc, allons-y.

Il faut d'abord faire un détour en réécrivant la fonction de Dirac que l'on vient de voir, mais sous la forme :

` delta(x) = 1/(2pi) \ int_(-oo)^(+oo) \ e^(ikx) dk `  ou  ` int_(-oo)^(+oo) \ e^(ikx) dk = 2pi delta(x) `

Ce résultat obtenu par un passage à l'intégrale de Fourier de la fonction de Dirac est expliqué dans le Complément 8.4.

Ensuite ce résultat nous permet d'aborder la démonstration cherchée dans le chapitre 7 sur la fonction d'onde du livre de M. Charles Antoine.

La valeur propre   ` psi_p(x) `  (ou fonction propre) de forme `\ A_p e^((ipx)/ℏ) \ ` donnée au départ, est une onde plane, et celles-ci sont orthonormées au sens de Dirac.

On a donc :

` (: psi_p | psi_q :) = A_p^** A_q \ int_(-oo)^(+oo) \ e^(i(q-p)/ ℏ x) dx = A_p^** A_q \ 2pi delta((q-p)/ℏ) `    vu le résultat précédent.

` = A_p^** A_q \ 2pi ℏ \ delta(p-q) `    sachant que ` delta(ax) = 1/abs(a) delta(x) `  comme indiqué aussi dans le Complément 8.4.

Comme :

` (: psi_p | psi_q :) = delta(p-q) `     vu la normalisation, cela entraine :

`A_p^** A_q \ 2pi ℏ \ \ delta(p-q) = delta(p-q)` 

Cela fixe la valeur des constantes à :

` A_p^** A_q\ 2pi ℏ = 1 `

` A_p^** A_q = 1/(2pi ℏ) `

et donc :

`color(blue) ( abs(A_p) = 1/sqrt(2pi ℏ) )`    ce que l'on voulait démontrer.