Démonstration de ` sum_i "|"i"><"i| = [bbI] `

Dans notre base et quel que soit le vecteur ` "|"psi> ` , on a :

` "|"psi> = alpha_(psi,u) |u> + alpha_(psi,d) |d>`

avec   ` |i> `  pouvant prendre les valeurs ` |u> ` et ` |d> `

L'utilisation de l'opérateur de projection va nous donner successivement :

` |u"><"u| |psi> = |u> < u|psi> `  en réordonnant les associations.

` = |u> alpha_(psi,u) `

` = color (brown) ( alpha_(psi,u) |u> )`

` |d"><"d| |psi> = |d> < d|psi> `  en réordonnant les associations.

` = |d> alpha_(psi,d) `

` = color (brown) ( alpha_(psi,d) |d> )`

et donc :

` |u"><"u| |psi> + |d"><"d| |psi> = color (brown) ( alpha_(psi,u) |u>) + color (brown) ( alpha_(psi,d) |d> )`

` = |psi> `

` = [bbI]|psi> `

d'où :

` |u"><"u| + |d"><"d| = [bbI] `

et :

` color (blue) ( sum_i "|"i"><"i| = [bbI] ) `  ce que l'on voulait démontrer.