L'équation (7.22) est la suivante :

` P(a) = rho_(aa) = sum_b psi(a,b)^** psi(a,b) `   la probabilité de se retrouver dans l'état "a" après une mesure.

qu'il faut rapprocher de la (7.20) :

` sum_b psi(a^',b)^** psi(a,b) = rho_(aa^') `

Rappel   sur les règles de probabilité :

Soit :

` "|"psi> = sum_(ab) psi(ab) "|"ab> `    les éléments   ` psi(ab) `  étant les amplitudes de probabilité des évènements "a" ET "b" ensemble.

` = psi_(u"u") "|"u"u"> + psi_(ud) "|"ud> + psi_(du) "|"du> + psi_(dd) "|"dd> `

On a :

` Pr(a=u) = psi_(u"u")^** psi_(u"u") + psi_(ud)^**psi_(ud)^** `   on a pris tous les termes où   `a=u`   apparait dans les `psi_(ab) `  ,  ce qui est en fin de compte :

` = rho_(u"u") `  qui est le premier terme diagonal de la matrice de densité.

` Pr(a=d) = psi_(du)^** psi_(du) + psi_(dd)^**psi_(dd)^** `   on a pris tous les termes où   `a=d`   apparait dans les `psi_(ab) `   ,  ce qui est de même :

` = rho_(dd) `  qui est le deuxième terme diagonal de la matrice de densité.

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La trace de   `bbrho`   étant égale à la somme de ses éléments diagonaux, on a :

`color(blue) ( Tr(bbrho) ) = rho_(u"u") + rho_(dd) `

` = Pr(a=u) + Pr(a=d) `

` color(blue) ( = 1 ) `   puisque les deux seuls évènements possibles sont `a=u` et `a=d` . Ce que l'on voulait démontrer.

Remarque :

On aurait d'ailleurs dû indiquer :

` Tr(bbrho_A) = Pr(a=u) + Pr(a=d) `  puisqu'on travaille ici sur le système d'Alice.

Pour le système de Bob ce sera :

` Tr(bbrho_B) = Pr(b=u) + Pr(b=d) `  ce que l'on verra dans les exercices suivants.