Il a été démontré chapitre 4, section 4.7, page 104 et avec le Complément 5.3 que :

`< A|bbL|A> = < bbL > `

Maintenant nous avons besoin d'obtenir la démonstration de :

`< A|bbL^2|A> = < bbL^2 > `

pour les équations (5.4) de la section 5.4, et (5.11) de la section 5.7 .

Rappel 1 :

`< bbL > = sum_i lambda_i Pr(lambda_i)`

et:

`<bbL^2 > = sum_i lambda_i^2 Pr(lambda_i)`

Rappel 2 :

Quand un opérateur `[bbM]` est hermitien :

`[bbM] = [bbM^†]`

et :

ses valeurs propres `lambda_i` sont réelles : `lambda_i^** = lambda_i`  ( voir démonstration section 3.1.4 page 62).

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Partie 1 : Démonstration 

Commençons :

` color(chocolate) (< A|bbL^2|A>) = < A|bbL bbL|A> = color(chocolate) (< A|bbL^† bbL|A> )`

avec :

`bbL"|"A">" = sum_i alpha_i bbL"|"lambda_i">" = sum_i alpha_i lambda_i"|"lambda_i">"`

et :

` "<"A"|"bbL^† = sum_i alpha_i^** lambda_i^** "<"lambda_i"|" = sum_i alpha_i^** lambda_i "<"lambda_i"|"`  puisque ` lambda_i^** = lambda_i `

donc :

`color(chocolate) (< A|bbL^† bbL|A>) = sum_i alpha_i^** lambda_i "<" lambda_i"|"  alpha_i lambda_i"|"lambda_i">" `

` = sum_i (alpha_i^** alpha_i) lambda_i lambda_i < lambda_i"|" lambda_i>`

` = sum_i (alpha_i^** alpha_i) lambda_i^2 `  puisque ` < lambda_i"|" lambda_i> =1`

` = sum_i Pr(lambda_i) lambda_i^2 `  puisque `(alpha_i^** alpha_i) = Pr(lambda_i) `

`color(chocolate) ( = < bbL^2 > )`  

On obtient donc bien la relation recherchée :

` color (blue) (< A|bbL^2|A> = < bbL^2 > )`

Partie 2 : Utilisation 1 

Pour la réécriture de l'équation (5.4) de la section 5.4  je ne sais PAS dire :

`color(blue) ( (Delta bbA)^2 )= sum_a(a- "<"bbA">")^2 color(chocolate) ( Pr(a) )`  (5.4)

` = "<"bar bbA^2">" = color(blue) ("<"Psi"|"bar bbA^2"|"Psi">" )`  avec ce que l'on vient de démontrer.

Je sais seulement dire :

` "<"bar bbA^2">" = "<"Psi"|"bar bbA^2"|"Psi">" = sum_a(a- "<"bbA">")^2 color (orange) ( Pr(bar a) )`

Ce sont `Pr(a)` et `Pr(bar a)` qui me posent problème !

Partie 3 : Utilisation 2 

Pour l'équation (5.11) de la section 5.7 :

` |X">" = bbA|Psi">"   =>  "<"X| = "<"Psi|bbA^† `

`color(chocolate)( "|"X"|" )= sqrt("<" X|X">") = sqrt("<"Psi|bbA^† bbA|Psi">") `

` = sqrt("<"Psi|bbA^2|Psi">") = color(chocolate)(sqrt("<"bbA^2">") )`  par ce que l'on vient de démontrer.

On peut donc bien écrire l'équation (5.11) à partir de l'équation (5.9) :

` 2|X||Y| >= |"<"X|Y">" + "<"Y|X">"| `  (5.9)

`color(blue) (2sqrt("<"bbA^2">" "<"bbB^2">") >= |"<"Psi|bbAbbB|Psi">" - "<"Psi|bbBbbA|Psi">"| )`  (5.11)