Partie 1) Montrer que ` (Delta bbA)^2 = "<"bar bbA^2">" ` et ` (Delta bbB)^2 = "<" bar bbB^2">" `

Rappel de définitions :

` (Delta bbA)^2 = sum_a(a - "<"bbA">")^2 Pr(a) `  Ecart-type

` "<"bbA^2">" = sum_a a^2 Pr(a) `    Valeur moyenne des carrés

` bar bbA = bbA - "<"bbA">"bbI `  (ça c'est l'astuce) et  `color(chocolate) ( bar a = a - "<"bbA">" )`

donc :

` "<"bar bbA^2">" = sum_a bar a^2 Pr(bar a) `

MAIS comme on peut écrire  `color(orange) ( Pr(bar a)=Pr(a) )`  voir Complément 5.5 je peux terminer maintenant de manière rigoureuse les deux démonstrations suivantes :

`color(blue) ( "<"bar bbA^2">") = sum_a bar a^2 Pr(a) = sum_a( color(chocolate) (a - "<"bbA">") )^2 Pr(a)`

`color(blue) (= (Delta bbA)^2 )`   ce que l'on voudrait démontrer.

Et de la même manière avec  ` Pr(bar b)=Pr(b) ` :

`color(blue) ( "<"bar bbB^2">") = sum_b bar b^2 Pr(b) = sum_b( color(chocolate) (b - "<"bbB">") )^2 Pr(b)`

`color(blue) (= (Delta bbB)^2 )`   ce que l'on voudrait démontrer.

Partie 2) Montrer que ` [bar bbA, bar bbB] = [bbA, bbB] `

Rappels :

` [bar bbA, bar bbB] = bar bbA   bar bbB - bar bbB   bar bbA `

` "<"bbA">" bbI   bbB = bbB "<"bbA">" bbI = "<"bbA">" bbB `   puisque `"<"bbA">"` est un scalaire et `bbI` la matrice Unité .

ce qui donne :

`color(blue) ("["bar bbA, bar bbB"]") = [bbA - "<"bbA">" bbI][bbB - "<"bbB">" bbI] - [bbB - "<"bbB">" bbI][bbA - "<"bbA">" bbI] `

`= bbA bbB - color(chocolate) ("<"bbA">" bbB) - color( #6ace3b) (bbA "<"bbB">") + color(#cc0000) ("<"bbA">""<"bbB">") `

`- ( bbB bbA - color(chocolate) (bbB "<"bbA">") - color( #6ace3b) ("<"bbB">" bbA) + color(#cc0000) ("<"bbA">""<"bbB">") )`

`= bbA bbB - bbB bbA `    puisque les termes de même couleur s'annulent.

`color(blue) (= [bbA, bbB]) `      ce que l'on voulait démontrer.

Partie 3) Montrer que ` Delta bbA   Delta bbB >= 1/2 |"<"Psi|[bbA, bbB]|Psi">"| `

On part de l'équation (5.11) page 141 (qui provient de l'inégalité de Cauchy-Schwarz) :

` 2sqrt("<"bbA^2">" "<"bbB^2">") >= |"<"Psi|bbA bbB|Psi">"| - |"<"Psi|bbB bbA|Psi">"|`

mais avec `bar bbA` et `bar bbB` , donc :

`color(chocolate) ( 2sqrt("<"bar bbA^2">" "<"bar bbB^2">") )>= |"<"Psi|bar bbA   bar bbB|Psi">"| - |"<"Psi|bar bbB   bar bbA|Psi">"|`

` >= |"<"Psi|bar bbA   bar bbB - bar bbB   bar bbA|Psi">"| `

`color(chocolate) ( >= |"<"Psi|[bar bbA, bar bbB]|Psi">"| )`

Comme ` [bar bbA, bar bbB] = [bbA, bbB] ` par la Partie 2), on a :

`color(chocolate) ( 2sqrt("<"bar bbA^2">" "<"bar bbB^2">") >= |"<"Psi|[bbA, bbB]|Psi">"| )`

et par la Partie 1) ` "<"bar bbA^2">" = (Delta bbA)^2 ` ainsi que ` "<"bar bbB^2">" = (Delta bbB)^2 `, ce qui donne :

`color(chocolate) (2sqrt((Delta bbA)^2 (Delta bbB)^2) >= |"<"Psi|[bbA, bbB]|Psi">"| )`

donc :

`color(blue) ( Delta bbA   Delta bbB >= 1/2 |"<"Psi|[bbA, bbB]|Psi">"| )`

ce que l'on voulait démontrer lorsqu'on a les moyennes `"<"bbA">" != 0`   et `"<"bbB">" != 0` .