Rappel :

Un état composite est un état-produit s'il est de la forme   ` |bbPsi:) = "|"psi:) otimes "|"varphi:) `,

soit, si   ` |psi:) = alpha_u "|"u:) + alpha_d "|"d:) `   et   ` |varphi:) = beta_u "|"u:) + beta_d "|"d:) ` :

` |bbPsi:) = (alpha_u "|"u:) + alpha_d "|"d:) ) otimes (beta_u "|"u:) + beta_d "|"d:) ) `

` = alpha_u beta_u "|"u"u":) + alpha_u beta_d "|"ud:) + alpha_d beta_u "|"du:) + alpha_d beta_d "|"dd:) `

- - - - - - - -

On a   ` "corr"(A,B) = (: AB :) - (: A :) (: B :) `   qui exprime la corrélation entre les observables A et B.

avec :

` (: AB :) = (: bbPsi "|"AB"|"bbPsi:)`   si l'on est dans l'état `"|"bbPsi :)`

Comme `"|"bbPsi:)` est un état-produit :

` < AB > = color(deeppink) ((< psi|   ox < varphi|)  ) color(purple) ( "|" A ox B  "|"   (|psi> ox   |varphi > ) )`

En prenant les deux dernières parties sur les trois, et en visualisant les opérations à effectuer :

` color(purple) ( "|" A ox B  "|"   (|psi> ox   |varphi > ) ) = "|" color(brown) (A) ox color(green) (B)  "|"   ( color(brown) (|psi>) ox   color(green)(|varphi > ) ) `   en visualisant,

` = color(brown) ( (A|psi>)) ox color(green)( (B|varphi>)) `    en appliquant la formule (7.10) : `(C ox D)(E ox F)=CE ox DF `

ce qui donne en reprenant tous les termes et en visualisant de nouveau les opérations à effectuer :

` color(deeppink) ( ( < psi|   ox < varphi|) )   |   ( color(brown) ((A|psi>)) ox color(green) ( (B|varphi>)) ) = ( color(brown) (< psi|)  ox   color(green) ( < varphi|) )  |   ( color(brown) ((A|psi>)) ox color(green) ( (B|varphi>)) ) `

` = color(brown) (< psi|A|psi>) ox color(green) ( < varphi|B|varphi>) `

` = color(brown) (< A >) color(green) ( < B > )`  puisque les produits scalaires sont des nombres, donc

des tenseurs d'ordre "0", et que leur produit tensoriel

est la multiplication algébrique.

Donc :

` color(blue) ( < AB > = < A > < B > )`

et :

` color(blue) ( "Corr"(A,B) = 0 )`  ce que l'on voulait démontrer.

Lorsque `"|"bbPsi">"` est un état combiné-produit, il n'y a aucune corrélation entre une observable A du s/système d'Alice et une observable B du s/système de Bob.