Soit `[L]` une matrice carrée de dimension N.

On a `[L]=[(m_(11),ldots,m_(1n)),(vdots,ddots,vdots),(m_(n1),ldots,m_("n"n))] ` avec les coefficients `m_(ij) in CC`

et son polynôme caractéristique :

`L_c = det [L-lambda_i I] = a_n lambda^n + a_(n-1)lambda^(n-1) + ldots + a_0`

qui a `n` racines `in CC:  lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_n` conformément au théorème fondamental de l'algèbre.

Ces `n` racines donnent `n` vecteurs propres `vec(v_i)` par :

`[L-lambda_i I](vec(v_i)) ` avec `(v_i)= ((v_(i,1)),(vdots),(v_(i,n)))` pour chaque `lambda_i` ,

ces vecteurs étant orthogonaux et formant une base orthonormée; ce qui répond à la question posée.

Remarque :

Cette démonstration n'est peut-être pas très rigoureuse.