Visualisation de la matrice `bbL` du sous-système d'Alice. Formule (7.18) page 197.

Cette formule a la forme suivante :

` bbL_(a^'b^', ab) = bbL_(a^'a) bbdelta_(b^'b) = [ (L_(u"u"), L_(ud)), (L_(du), L_(dd)) ] otimes [ (1,0), (0,1) ] `

Cette forme particulière doit permettre de filtrer toute composante de la matrice `bbL` qui aurait un effet sur la partie droite des indices (celle de Bob dans le cas présent).

Mais ça justement ce n'est pas très clair, et quelques compléments me seraient nécessaires. Merci d'avance.

On obtient :

` bbL_(a^'a) bbdelta_(b^'b) = [ ( L_(u"u"),0, vdots, L_(ud), 0), ( 0, L_(u"u"), vdots, 0, L_(ud)), ( ldots, ldots, ldots, ldots, ldots), ( L_(du),0, vdots, L_(dd), 0), ( 0, L_(du), vdots, 0, L_(dd)) ] `   que nous pouvons appeler   ` bbL_("Alice") `.

Maintenant écrivons l'espérance mathématique de l'observable de Alice :

` < bbL_("Alice")> = < psi "|" bbL_("Alice") "|" psi> `

Il vient :

` bbL_("Alice") "|" psi> = [( L_(u"u"),0, L_(ud), 0), ( 0, L_(u"u"), 0, L_(ud)), ( L_(du),0, L_(dd), 0), ( 0, L_(du), 0, L_(dd)) ]  [ ( psi_(u"u")), (psi_(ud)), (psi_(du)), (psi_(dd)) ] `

` = [ (L_(u"u")psi_(u"u") + L_(ud)psi_(du) ), (L_(u"u")psi_(ud) + L_(ud)psi_(dd) ), (L_(du)psi_(u"u") + L_(dd)psi_(du) ), (L_(du)psi_(ud) + L_(dd)psi_(dd) ) ]`

ensuite :

` < psi "|" bbL_("Alice") "|" psi> = [ psi_(u"u")^**, psi_(ud)^**, psi_(du)^**, psi_(dd)^** ] [ (L_(u"u")psi_(u"u") + L_(ud)psi_(du) ), (L_(u"u")psi_(ud) + L_(ud)psi_(dd) ), (L_(du)psi_(u"u") + L_(dd)psi_(du) ), (L_(du)psi_(ud) + L_(dd)psi_(dd) ) ] `

` = psi_(u"u")^** ( color(brown) ( L_(u"u")) psi_(u"u") + color(deeppink) (L_(ud)) psi_(du)) + psi_(ud)^** ( color(brown) (L_(u"u")) psi_(u"u") + color(deeppink) (L_(ud)) psi_(dd) ) + psi_(du)^** ( color(green) (L_(du)) psi_(u"u") + color(purple) (L_(dd)) psi_(du)) + psi_(dd)^** ( color(green) (L_(du)) psi_(ud) + color(purple) (L_(dd)) psi_(dd)) `

et en réordonnant la mise en facteur par rapport à   ` color(brown) (L_(u"u")),color(deeppink)( L_(ud)), color(green) ( L_(du)), color(purple) ( L_(dd) ) `   :

` < psi "|" bbL_("Alice") "|" psi> = color(brown) ( L_(u"u")) ( psi_(u"u")^** psi_(u"u") + psi_(ud)^** psi_(u"u") ) `

` + color(deeppink) (L_(ud)) ( psi_(u"u")^** psi_(du) + psi_(ud)^** psi_(dd)) `

` + color(green) (L_(du)) ( psi_(du)^** psi_(u"u") + psi_(dd)^** psi_(ud) )`

`+ color(purple) (L_(dd)) ( psi_(du)^** psi_(du) + psi_(dd)^** psi_(dd) ) `

qui est bien la formule que l'on obtenait dans le complément 7.3 .