Partie a) Opérateur de spin sur un état-produit.

Un vecteur état-produit `|AB">"` a la forme générale suivante :

` |AB">" = |A">" otimes "|"B">" = (alpha_u |u">" + alpha_d |d">") otimes(beta_u |u">" + beta_d |d">") `

` |AB">" = alpha_u beta_u |u"u" ">" + alpha_u beta_d |ud">" + alpha_d beta_u |du">" + alpha_d beta_d |dd">" `

Lorsqu'un opérateur de spin (Alice par exemple) agit sur cet état-produit, cela donne :

`color(blue) (sigma_x"|"AB">") = alpha_u beta_u color(blue) (sigma_x) |u"u" ">" + alpha_u beta_d color(blue) (sigma_x) |ud">" + alpha_d beta_u color(blue) (sigma_x) |du">" + alpha_d beta_d color(blue) (sigma_x) |dd">" `

` = alpha_u beta_u |du ">" + alpha_u beta_d |dd">" + alpha_d beta_u |u"u"">" + alpha_d beta_d |ud">" `  en ayant appliqué les résultats vus à l'exercice précédent

`color(blue) ( = alpha_d beta_u |u"u" ">" + alpha_d beta_d |ud">" + alpha_u beta_u |du">" + alpha_u beta_d |dd">" )`  après une remise en ordre des vecteurs de base

`color(blue) ( = "|"A^'B">") `

qui a bien la forme générale d'un vecteur état-produit, en l'occurence une combinaison linéaire des vecteurs de base de l'espace composite.

Partie b) Vérification de l'égalité de l'Espérance mathématique d'une composante de `sigma` ou de `tau` avec un état-produit à deux spins et un état à un seul spin.

Calculons l'espérance mathématique de `sigma_x` avec notre vecteur état-produit `"|"AB">"` à deux spins.

On obtient :

` "<"sigma_x">"_2 = "<"AB|sigma_x|AB">" `

et comme nous venons de calculer  `sigma_x"|"AB>` , cela donne :

` "<"sigma_x">"_2 = "<"AB|A^'B">" ` ,

soit en effectuant :

`color(#6ace3b) ("<"sigma_x">"_2) = alpha_u^**beta_u^**alpha_d beta_u + alpha_u^**beta_d^**alpha_d beta_d + alpha_d^**beta_u^**alpha_u beta_u + alpha_d^**beta_d^**alpha_u beta_d ` ,

` = alpha_u^**alpha_d ( beta_u^** beta_u + beta_d^** beta_d) + alpha_d^**alpha_u ( beta_u^** beta_u + beta_d^** beta_d) `

`color(#6ace3b) ( = alpha_u^**alpha_d + alpha_d^**alpha_u )`   puisque chaque terme entre parenthèses est égal à 1.

Et avec un seul spin, on a :

` |A">" = alpha_u |u">" + alpha_d "|"d">" `

` sigma_x|A">" = alpha_u |d">" + alpha_d |u">" = alpha_d |u">" + alpha_u "|"d">" `

ce qui donne :

`color(brown) ( "<"sigma_x">"_1) = "<"A|sigma_x|A">" `

` = (alpha_u^** "<"u"|" + alpha_d^** "<"d"|" )(alpha_d |u">" + alpha_u |d">") `

`color(brown) ( = alpha_u^**alpha_d + alpha_d^**alpha_u )`

On a donc bien  `color(#6ace3b) ("<"sigma_x">"_2) = color(brown) ("<"sigma_x">"_1) ` et la propriété b) est vérifiée.