a) Première proposition.

b) Deuxième proposition.

a) Première proposition .

Pour démontrer cette propriété, prenons les deux matrices `[bbM]` et `[bbL]` hermitiennes, de dimension 2x2.

Nous avons donc :

`[bbL_2]= [(c_1, c_2+"i"d_2),( c_2-"i"d_2, c_3)]  [bbM_2]= [(a_1, a_2+ib_2),( a_2-ib_2, a_3)]  [bbL_2]= [(c_1, c_2+"i"d_2),( c_2-"i"d_2, c_3)],  a_i, b_i, c_i, d_i in RR `

J'ai disposé les matrices `[bbL_2]`, `[bbM_2]`, `[bbL_2]` de telle manière que l'on puisse effectuer facilement les deux produits matriciels.

`[bbM_2,bbL_2] = color(chocolate) ([bbM_2bbL_2])-color(#6ace3b)([bbL_2bbM_2]) `

Cela donne :

`color(chocolate) ([bbM_2bbL_2] = ) [(a_1c_1+(a_2+ib_2)(c_2-id_2), a_1(c_2+id_2)+(a_2+ib_2)c_3),((a_2-ib_2)c_1+a_3(c_2-id_2),(a_2-ib_2)(c_2+id_2)+a_3c_3)] `

`color(chocolate) (= [( a_1c_1+(a_2c_2+b_2d_2)+i(b_2c_2-a_2d_2), (a_1c_2+a_2c_3)+i(a_1d_2+b_2c_3)),(a_2c_1+a_3c_2-i(b_2c_1+a_3d_2), (a_2c_2+b_2d_2)+a_3c_3 +i(a_2d_2-b_2c_2)) ]) `

et :

`color(#6ace3b)([bbL_2bbM_2] = ) [(c_1a_1+(c_2+id_2)(a_2-ib_2), c_1(a_2+ib_2)+(c_2+id_2)a_3), ((c_2-id_2)a_1+c_3(a_2-ib_2), (c_2-id_2)(a_2+ib_2)+c_3a_3) ]`

`color(#6ace3b) (= [(c_1a_1+(c_2a_2+d_2b_2) +i(d_2a_2-c_2b_2), c_1a_2+c_2a_3 +i(b_2c_1+a_3d_2)),(c_2a_1+c_3a_2 -i(d_2a_1+c_3b_2), (c_2a_2+d_2b_2)+c_3a_3 +i(c_2b_2-d_2a_2)) ])`

Soit en effectuant :

` color(chocolate) ("["bbM_2bbL_2 ) - color(#6ace3b) (bbL_2bbM_2"]") =`

` [(2i(b_2c_2-a_2d_2), a_1c_2+a_2c_3-(c_1a_2+c_2a_3) +i((a_1d_2+b_2c_3)-(b_2c_1+a_2d_2))), ( a_2c_1+a_3c_2-(c_2a_1+c_3a_2) + i((a_1d_2+b_2c_3)-(b_2c_1+a_2d_2)), -2i(b_2c_2-a_2d_2) )] `

et pour :

`color(blue) ( i [bbM_2bbL_2 - bbL_2bbM_2] )`

` =[( -2(b_2c_2-a_2d_2), i(a_1c_2+a_2c_3-(c_1a_2+c_2a_3)) -((a_1d_2+b_2c_3)-(b_2c_1+a_2d_2)) ), (i( a_2c_1+a_3c_2-(c_2a_1+c_3a_2)) -((a_1d_2+b_2c_3)-(b_2c_1+a_2d_2)), 2(b_2c_2-a_2d_2) )] `

`color(blue) ( =[( -2(b_2c_2-a_2d_2), b_2c_1+a_2d_2 -(a_1d_2+b_2c_3) -i((c_1a_2+c_2a_3)-(a_1c_2+a_2c_3) )), ( (b_2c_1+a_3d_2)-(a_1d_2+b_2c_3) +i( (a_2c_1+a_3c_2) -(c_2a_1+c_3a_2) ), 2(b_2c_2-a_2d_2) )] )`

Les changements de signe sont un peu perturbants mais on y arrive !

`color(blue) ( i[bbM_2,bbL_2]= [(a, b+ic),( b-ic, d)]),  a, b, c, d in RR ` est donc de forme hermitienne, avec :

`a = -2(b_2c_2-a_2d_2)`

`b = b_2c_1+a_2d_2 -(a_1d_2+b_2c_3)`

`c = (c_1a_2+c_2a_3)-(a_1c_2+a_2c_3)`

`d = 2(b_2c_2-a_2d_2)`

ce que l'on voulait démontrer.

On peut raisonnablement supposer que cette propriété est vraie pour les rangs supérieurs (`n=3, 4, . . . `).

2) Deuxième proposition .

Cette proposition est plus générale que la précédente et a été rédigée d'après l'envoi de Jean-Yves Viala. Merci à lui.

Rappels :

Si `[bbA]^t` est la matrice transposée de `[bbA]`, on a :

`([bbA] + [bbB])^t = [bbA]^t + [bbB]^t`

`([bbA][bbB])^t = [bbB]^t [bbA]^t`   Attention à l'inversion.

Et pour les matrices hermitiennes :

`[bbA]^† = [bbA]`

`([bbA] + [bbB])^† = [bbA]^† + [bbB]^†`

`([bbA][bbB])^† = [bbB]^† [bbA]^†`

Démonstration :

Nous devons démontrer que : `(i[bbM, bbL])^† = i[bbM, bbL] `

Nous avons :

`color (blue) ((i[bbM, bbL])^†) = (i[bbM bbL] - i[bbL bbM])^†`

` = (i[bbM bbL])^† - (i[bbL bbM])^† = -i[bbL]^†[bbM]^† - (-i)[bbM]^†[bbL]^†`

` = i([bbM]^†[bbL]^† - [bbL]^†[bbM]^†)`

` = i([bbM bbL] - [bbL bbM])`

` = color (blue) ( i[bbM, bbL] )`   ce que l'on voulait démontrer.