a) Choix du vecteur-3D unitaire `hat(n)`.

b) Construction de l'opérateur `bbH=(ℏomega)/2 vec(sigma)*hat(n)`.

c) Calcul des valeurs propres de l'énergie `bbH`.

d) Calcul des vecteurs propres de l'énergie `bbH`.

Partie a) Choix du vecteur-3D unitaire `hat(n)`.

Prenons le vecteur `hat(n)` de l'exercice 3.3, qui correspond à un vecteur unitaire dans le plan `xbbOz`,

ce qui donne :

` n_x = costheta `

` n_z = sintheta `

` n_y = 0 `

Il vient :

`color(#4040fc) ( vec(sigma)*hat(n)= sigma_x n_x +sigma_y n_y +sigma_z n_z =((costheta, sintheta),(sintheta, -costheta)) )` conformément à l'expression (3.23) de la page 83.

Partie b) Construction de l'opérateur `bbH`.

On a : `bbH=(ℏomega)/2 vec(sigma)*hat(n)`

donc : `color(blue) ( bbH=(ℏomega)/2 ((costheta, sintheta),(sintheta, -costheta)) )`

Partie c) Calcul des valeurs propres de l'opérateur `bbH`.

` det [bbH-lambda bbI] = |((ℏomega)/2 costheta - lambda, (ℏomega)/2 sintheta),( (ℏomega)/2 sintheta, -(ℏomega)/2 costheta - lambda) | `

et ` det [bbH-lambda bbI] = 0` nous donne:

` -((ℏomega)/2 costheta - lambda)((ℏomega)/2 costheta + lambda) - ((ℏomega)/2)^2 sin^2theta = 0 `

` -(((ℏomega)/2)^2 cos^2theta - lambda^2) - ((ℏomega)/2)^2 sin^2theta = 0 `

` lambda^2 - ((ℏomega)/2)^2 (cos^2theta + sin^2theta) =0 `  

` lambda^2 = ((ℏomega)/2)^2 `  puisque `cos^2theta + sin^2theta=1`

`color(blue) ( lambda= +- (ℏomega)/2 )`

Partie d) Calcul des vecteurs propres de l'opérateur `bbH`.

La relation générale entre valeurs propres et vecteurs propres est la suivante :

`color(chocolate) ( (((ℏomega)/2 costheta - lambda_i, (ℏomega)/2 sintheta),( (ℏomega)/2 sintheta, -(ℏomega)/2 costheta - lambda_i) )(E_(lambda_i))=0 )`

Pour `color(blue) ( lambda_1= + (ℏomega)/2 )`  son vecteur propre associé `E_(lambda_1)` est donc donné par :

` (((ℏomega)/2 costheta - (ℏomega)/2, (ℏomega)/2 sintheta),( (ℏomega)/2 sintheta, -(ℏomega)/2 costheta - (ℏomega)/2) )(E_(lambda_1))=0 `

` (ℏomega)/2( (costheta - 1, sintheta),( sintheta, -costheta - 1) )(E_(lambda_1))=0 `

On retrouve donc l'équation de l'exercice 3.3 à résoudre, puisqu'on peut diviser par `(ℏomega)/2`,

avec `E_(lambda_1)` de la forme `((cosalpha),(sinalpha))` soit :

`( (costheta - 1, sintheta),( sintheta, -costheta - 1) )((cosalpha),(sinalpha))=0 ` et qui nous donne :

`color(blue) ( "|" E_(lambda_1)> = ((cos(theta/2)),(sin (theta/2))) )`

De la même manière pour `color(blue) (lambda_2= -(ℏomega)/2 )`, on trouve :

`color(blue) ( "|" E_(lambda_2)> = ( (-sin(theta/2)),(cos(theta/2)) ) )`