Vérification (page 194) que l'opérateur densité ` bbrho ` d'un sous-système, dans le cas où le système composite est un état-produit, est bien l'opérateur de projection ` "|"psi"><"psi"|" `.

Notons la différence entre un état pur et un état-produit , comme rappelée dans les remarques préalables suivantes.

Remarques préalables :

R1- Un état composite ` |psi> ` est pur si on connait entièrement sa fonction d'onde ` "|"psi> = sum_(ab)psi_(ab) "|"ab> ` .

R2 - L'expression d'une composante de l'opérateur densité ` bbrho ` du sous-système de Alice est :

` rho_(a a^') = sum_b psi_(a^'b)^** psi_(ab) ` dans le cas d'un système composite même pur.

R3 - L'expression de cette même composante :

` rho_(a a^') = psi_(a^')^** psi_(a) ` dans le cas d'un système simple (unique) non composite .

R4- Un état composite est un état-produit s'il est de la forme ` |psi> = "|"A B> = |A> otimes |B> `,

soit, si ` |A> = alpha_u "|"u> + alpha_d "|"d> `   et   ` |B> = beta_u "|"u> + beta_d "|"d> ` :

` |psi> = (alpha_u "|"u> + alpha_d "|"d>) otimes (beta_u "|"u> + beta_d "|"d>) `

` = alpha_u beta_u "|"u"u"> + alpha_u beta_d "|"ud> + alpha_d beta_u "|"du> + alpha_d beta_d "|"dd> `

R5 - L'opérateur de projection de ` |psi> ` est `  "|"psi"><" psi"|" ` et

si ` "|"psi> = alpha_u "|"u> + alpha_d "|"d> `  alors  ` "|"psi"><" psi"|" = [ (alpha_u alpha_u^**, alpha_u alpha_d^**), (alpha_d alpha_u^**, alpha_d alpha_d^**)] `

Prenons maintenant un état composite produit et calculons l'expression des composants de son opérateur de densité `bbrho`

D'après R2-, sa forme générale est   ` color(blue) ( rho_(a a^') = sum_b psi_(a^'b)^** psi_(ab) )`

ATTENTION : il y a une INVERSION DES INDICES `a` et `a^'` entre le membre de gauche et celui de droite (subtilité de la page 195).

Comme j'ai suivi l'ordre logique du membre de droite, on va d'abord trouver `rho_(du)` et ensuite `rho_(ud)` .

Cette subtilité est indispensable sinon l'égalité entre `[rho]` et `"|"psi"><"psi"|" ` n'est pas vérifiée.

Donc :

1er terme :

` color(blue) ( rho_(u"u") ) = psi_(u"u")^** psi_(u"u") + psi_(ud)^** psi_(ud) `

avec d'après R4- :

`psi_(u"u") = alpha_u beta_u   psi_(u"u")^** = alpha_u^** beta_u^**`

`psi_(ud) = alpha_u beta_d   psi_(ud)^** = alpha_u^** beta_d^** `

d'où :

` rho_(u"u") = alpha_u^** beta_u^**   alpha_u beta_u + alpha_u^** beta_d^**   alpha_u beta_d `

` = alpha_u^** alpha_u (beta_u^** beta_u + beta_d^** beta_d) `

` color(blue) ( = alpha_u^** alpha_u ) `    puisque ` beta_u^** beta_u + beta_d^** beta_d = 1,   "|"B> ` étant unitaire.

De la même manière :

2ème terme :

` color(blue) ( rho_(du) ) = psi_(u"u")^** psi_(du) + psi_(ud)^** psi_(dd) `

` rho_(du) = alpha_u^** beta_u^**   alpha_d beta_u + alpha_u^** beta_d^**   alpha_d beta_d `

` = alpha_u^** alpha_d (beta_u^** beta_u + beta_d^** beta_d) `

` color(blue) ( = alpha_u^** alpha_d ) `    puisque ` beta_u^** beta_u + beta_d^** beta_d = 1 `

3ème terme :

` color(blue) ( rho_(ud) ) = psi_(du)^** psi_(u"u") + psi_(dd)^** psi_(ud) `

` rho_(ud) = alpha_d^** beta_u^**   alpha_u beta_u + alpha_d^** beta_d^**   alpha_u beta_d `

` = alpha_d^** alpha_u (beta_u^** beta_u + beta_d^** beta_d) `

` color(blue) ( = alpha_d^** alpha_u ) `    puisque ` beta_u^** beta_u + beta_d^** beta_d = 1 `

4ème terme :

` color(blue) ( rho_(dd) ) = psi_(du)^** psi_(du) + psi_(dd)^** psi_(dd) `

` rho_(du) = alpha_d^** beta_u^**   alpha_d beta_u + alpha_d^** beta_d^**   alpha_d beta_d `

` = alpha_d^** alpha_d (beta_u^** beta_u + beta_d^** beta_d) `

` color(blue) ( = alpha_d^** alpha_d ) `    puisque ` beta_u^** beta_u + beta_d^** beta_d = 1 `

ce qui donne :

` color(blue) ( [bbrho] )= [ (rho_(u"u"), rho_(ud)), (rho_(du), rho_(dd)) ] = [ (alpha_u^** alpha_u, alpha_d^** alpha_u), (alpha_u^** alpha_d, alpha_d^** alpha_d) ] `

` color(blue) ( = "|"psi"><"psi"|" ) `   avec ` "|"psi> = alpha_u "|"u> + alpha_d "|"d> `  ce que l'on voulait démontrer.