Exercice 8.1
Rappel :
Si un opérateur `bbM` est linéaire dans un espace vectoriel, il doit vérifier :
1- ` bbM (f+g) = bbM(f) + bbM(g) ` f et g étant des vecteurs (au sens large) de cet espace.
2- ` bbM (lambdaf) = lambda bbM(f), lambda in bbbC `
Soit l'opérateur linéaire ` bbX\ \ ` tel que ` bbX psi(x) = x psi(x) `
` {: ( bbX (psi_1(x) + psi_2(x)), =, x(psi_1(x) + psi_2(x)) ), ( ,=, xpsi_1(x) + xpsi_2(x) ), ( ,=, bbX psi_1(x) + bbX psi_2(x) ) :} `
` {: ( bbX(lambda psi_1(x) ), =, x (lambda psi_1(x)) ), ( , =, lambda x psi_1(x) ), ( , =, lambda bbX (psi_1(x)) ) :}`
Soit l'opérateur ` bbD ` tel que ` bbD psi(x) = frac (dpsi(x))(dx)`
` {: ( bbD(psi_1(x) + psi_2(x)), =, class{cmjx-lg} {frac (d(psi_1(x) + psi_2(x)))(dx) } ), ( , =, class{cmjx-lg} {frac(dpsi_1(x))(dx) + frac(dpsi_2(x))(dx) } ) , ( , =, bbDpsi_1(x) + bbDpsi_2(x)
) :}`
` {: ( bbD (lambda psi_1(x)), =, class{cmjx-lg} {frac (d(lambda psi_1(x)))(dx) } ), ( , =, lambda class{cmjx-lg} {frac (d(psi_1(x)))(dx) } ), ( , =, lambda bbD(psi_1(x)) ) :}`
Les opérateurs ` bbX \ ` et ` \ bbD \ ` sont bien linéaires, ce que l'on voulait démontrer.