En partant de l'équation (4.12) p 104, différentes étapes ont été parcourues :

`"|"A">" = sum_i alpha_i "|"lambda_i">"`  (4.12)

`bbL"|"A">" = sum_i alpha_i bbL"|"lambda_i">"`

`bbL"|"A">" = sum_i alpha_i lambda_i"|"lambda_i">"`

Ensuite, la seconde étape consiste à prendre le produit scalaire de `"<"A"|"` avec ce résultat :

`"<" A"|" = sum_i alpha_i^** "<" lambda_i"|"`

`color(chocolate) ( < A|bbL |A> ) = sum_i alpha_i^** < lambda_i|alpha_i lambda_i|lambda_i>`

`= sum_i alpha_i^** alpha_i lambda_i < lambda_i|lambda_i>`

`= sum_i alpha_i^** alpha_i lambda_i`   (4.13)  puisque ` < lambda_i|lambda_i> =1`

`= sum_i Pr(lambda_i) lambda_i = color(chocolate) (< bbL >)`   

On obtient donc bien l'équation (4.13) recherchée ainsi que l'équation (4.14) finale :

`color(blue) (< A|bbL|A> = < bbL > )`