Exercice 7.8
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Définitions :
La matrice de densité ` [bbrho_A] ` d'Alice contient les composantes génériques ` color(blue) (rho_(A,a a^') = sum_(b)psi_(a^'b)^** psi_(ab) )`
` color(orange) ("ATTENTION")` : pour que les termes soient écrits correctement, les deux contraintes suivantes doivent être respectées :
1 - les indices "`a`" et "`a^'`" sont INVERSÉS entre le membre gauche de l'égalité et le membre de droite, `rho_(aa^')` et `Sigma psi_(a^'b)^** psi_(ab)` ,
2 - les termes conjugués `psi^**` doivent écrites AVANT les termes non conjugués `psi` pour bien prendre en compte cette inversion.
On obtient pour chaque composante :
- 1er terme : ` color(brown) ( a = u ), color(green) ( a^' = u ), color(deeppink) (b=u,d)`
` color(blue) ( rho_(A,u"u") ) = ( psi_( color (green)(u) color(deeppink)(u) )^** psi_( color (brown)(u) color (deeppink)(u) ) + psi_( color (brown)(u) color (deeppink)(d) )^** psi_( color (green)(u) color (deeppink)(d) ) )`
- 2ème terme : ` color(brown) ( a = u ), color(green) ( a^' = d ), color(deeppink) (b=u,d)`
` color(blue) ( rho_(A,ud) ) = ( psi_( color (green)(d) color(deeppink)(u) )^** psi_( color (brown)(u) color (deeppink)(u) ) + psi_( color (green)(d) color (deeppink)(d) )^** psi_( color (brown)(u) color (deeppink)(d) ) )`
- 3ème terme : ` color(brown) ( a = d ), color(green) ( a^' = u ), color(deeppink) (b=u,d)`
` color(blue) ( rho_(A,du) ) = ( psi_( color (green)(u) color(deeppink)(u) )^** psi_( color (brown)(d) color (deeppink)(u) ) + psi_( color (green)(u) color (deeppink)(d) )^** psi_( color (brown)(d) color (deeppink)(d) ) )`
- 4ème terme : ` color(brown) ( a = d ), color(green) ( a^' = d ), color(deeppink) (b=u,d)`
` color(blue) ( rho_(A,dd) ) = ( psi_( color (green)(d) color(deeppink)(u) )^** psi_( color (brown)(d) color (deeppink)(u) ) + psi_( color (green)(d) color (deeppink)(d) )^** psi_( color (brown)(d) color (deeppink)(d) ) )`
ce qui donne la matrice de densité ` [bbrho_A] ` d'Alice suivante :
` color(blue) (rho_(A,u""u)) = psi_(u""u)^**psi_(u""u) + psi_(ud)^**psi_(ud)` conforme à la page 204.
` color(blue) (rho_(A,ud)) = psi_(du)^**psi_(u""u) + psi_(dd)^**psi_(ud) `
` color(blue) (rho_(A,du)) = psi_(u""u)^**psi_(du) + psi_(ud)^**psi_(dd) `
` color(blue) (rho_(A,dd)) = psi_(du)^**psi_(du) + psi_(dd)^**psi_(dd)`
De la même manière la matrice de densité ` [bbrho_B] ` de Bob contient les composantes génériques ` color(chocolate) (rho_(B,b b^') = sum_(a)psi_(ab^')^** psi_(ab) )`
L'AVERTISSEMENT précédent est valable aussi.
ce qui donne la matrice de densité ` [bbrho_B] ` de Bob suivante :
` color(chocolate) (rho_(B,u""u)) = psi_(u""u)^**psi_(u""u) + psi_(du)^**psi_(du)` conforme à la page ??.
` color(chocolate) (rho_(B,ud)) = psi_(ud)^**psi_(u""u) + psi_(dd)^**psi_(du) `
` color(chocolate) (rho_(B,du)) = psi_(u""u)^**psi_(ud) + psi_(du)^**psi_(dd) `
` color(chocolate) (rho_(B,dd)) = psi_(ud)^**psi_(ud) + psi_(dd)^**psi_(dd)`
Partie a) :
On a l'état :
` color(blue) ( "|"psi_1> = 1/2 (|u""u> + |ud> + |du> + |dd>) )`
avec les amplitudes de probabilités suivantes :
` psi_(1,u""u) = 1/2 = psi_(1,u""u)^** ` puisque la racine est réelle
` psi_(1,ud) = 1/2 = psi_(1,ud)^** `
` psi_(1,du) = 1/2 = psi_(1,du)^** `
` psi_(1,dd) = 1/2 = psi_(1,dd)^** `
Les composantes des deux matrices densité ont toutes la même forme :
` color(blue) (rho_(A, aa^')) = color(chocolate) (rho_(B, b""b^')) = 1/2xx1/2 + 1/2xx1/2 = 1/4+1/4 ` puisque toutes les amplitudes sont réelles et de même valeur.
` = 1/2 `
ce qui donne pour les matrices de densité d'Alice et Bob :
` color(blue) ([bbrho_A]) = color(chocolate) ([bbrho_B]) = [(1/2, 1/2), (1/2, 1/2)] = 1/2[(1, 1), (1, 1)] `
Les deux traces ` color(blue) (Tr[bbrho_A]) ` et `color(chocolate) (Tr[bbrho_B])` sont égales à ` 1/2+1/2=1 `
et les carrés des deux matrices de densité :
` color(blue) ([bbrho_A]^2) = color(chocolate) ([bbrho_B]^2) = 1/4 [(1, 1), (1, 1)][(1, 1), (1, 1)] `
` = 1/4 [(2, 2), (2, 2)] = 1/2[(1, 1), (1, 1)] = color(blue) ([bbrho_A]) = color(chocolate) ([bbrho_B]) `
Propriétés :
- Chaque matrice densité est égale à son carré.
- Les deux traces ` color(blue) (Tr[bbrho_A]^2) ` et `color(chocolate) (Tr[bbrho_B]^2)` sont égales à 1.
`=>` Donc avec l'état ` "|"psi_1> = 1/2 (|u""u> + |ud> + |du> + |dd>) ` chaque s/système Alice et Bob est dans un état pur .
Partie b) :
On a l'état :
`color(blue) ( "|"psi_2> = 1/sqrt 2 (|u""u> + |dd>) )`
avec les amplitudes de probabilités suivantes :
` psi_(2,u""u) = 1/sqrt 2 = psi_(2,u""u)^** ` puisque la racine est réelle
` psi_(2,ud) = 0 = psi_(2,ud)^** `
` psi_(2,du) = 0 = psi_(2,du)^** `
` psi_(2,dd) = 1/sqrt 2 = psi_(2,dd)^** `
La matrice de densité ` color(blue) ([bbrho_(2A)] "d'Alice" ` est la suivante :
` color(blue) (rho_(2A,u""u)) = psi_(u""u)^**psi_(u""u) + psi_(ud)^**psi_(ud) = 1/sqrt2 1/sqrt 2 + 0xx0 = color(blue) ( 1/2)`
` color(blue) (rho_(2A,ud)) = psi_(du)^**psi_(u""u) + psi_(dd)^**psi_(ud) = 0xx1 + 1xx0 = color(blue) (0) `
` color(blue) (rho_(2A,du)) = psi_(u""u)^**psi_(du) + psi_(ud)^**psi_(dd) = 1/sqrt 2 xx 0 + 0 xx 1/sqrt 2 = color(blue) (0)`
` color(blue) (rho_(2A,dd)) = psi_(du)^**psi_(du) + psi_(dd)^**psi_(dd) = 0 xx 0 + 1/sqrt2 1/sqrt 2 = color(blue) (1/2)`
d'où :
` color(blue) ( [bbrho_(2A)]) = [ (1/2, 0), (0, 1/2)] ` `color(blue) ( Tr([bbrho_(2A)]) ) = 1/2+1/2 color(blue) (= 1) `
` color(blue) ( [bbrho_(2A)]^2) = [ (1/4, 0), (0, 1/4)] ` `color(blue) ( Tr([bbrho_(2A)]^2) ) = 1/4+1/4 color(blue) (= 1/2) `
Propriétés :
- ` [bbrho_(2A)]^2 != [bbrho_(2A)] `.
- `Tr[bbrho_(2A)]^2 != Tr[bbrho_(2A)]` .
`=>` Donc avec l'état ` "|"psi_2> = 1/sqrt 2 (|u""u> + |dd>) ` le s/système ` color(blue) ("Alice") ` est dans un état mixte ou intriqué .
La matrice de densité ` color(chocolate) ([bbrho_(2B)] "de Bob") ` suivante :
` color(chocolate) (rho_(2B,u""u)) = psi_(u""u)^**psi_(u""u) + psi_(du)^**psi_(du) = 1/sqrt 2 1/sqrt 2 + 0xx0 = color(chocolate) (1/2)`
` color(chocolate) (rho_(2B,ud)) = psi_(ud)^**psi_(u""u) + psi_(dd)^**psi_(du) = 0xx1/sqrt 2 + 1/sqrt 2 xx 0 = color(chocolate) (0)`
` color(chocolate) (rho_(2B,du)) = psi_(u""u)^**psi_(ud) + psi_(du)^**psi_(dd) = 1/sqrt2 xx 0 + 0xx1/sqrt 2 = color(chocolate) (0)`
` color(chocolate) (rho_(2B,dd)) = psi_(ud)^**psi_(ud) + psi_(dd)^**psi_(dd) = 0xx0 + 1/sqrt 2 1/sqrt 2 = color(chocolate) (1/2)`
d'où :
` color(chocolate) ( [bbrho_(2B)]) = [ (1/2, 0), (0, 1/2)] ` `color(chocolate) ( Tr([bbrho_(2B)]) ) = 1/2+1/2 color(chocolate) (= 1) `
` color(chocolate) ( [bbrho_(2B)]^2) = [ (1/4, 0), (0, 1/4)] ` `color(chocolate) ( Tr([bbrho_(2B)]^2) ) = 1/4+1/4 color(chocolate) (= 1/2) `
Propriétés :
- ` [bbrho_(2B)]^2 != [bbrho_(2B)] `.
- `Tr[bbrho_(2B)]^2 != Tr[bbrho_(2B)]` .
`=>` Donc avec l'état ` "|"psi_2> = 1/sqrt 2 (|u""u> + |dd>) ` le s/système de `color(chocolate) ("Bob")` est dans un état mixte ou intriqué .
Partie c) :
On a l'état :
`color(blue) ( "|"psi_3> = 1/5 (3|u""u> + 4|ud>) )`
avec les amplitudes de probabilités suivantes :
` psi_(3,u""u) = 3/5 = psi_(3,u""u)^** ` puisque la racine est réelle
` psi_(3,ud) = 4/5 = psi_(3,ud)^** `
` psi_(3,du) = 0 = psi_(3,du)^** `
` psi_(3,dd) = 0 = psi_(3,dd)^** `
La matrice de densité ` color(blue) ([bbrho_(3A)] "d'Alice" ` est la suivante :
` color(blue) (rho_(3A,u""u)) = psi_(u""u)^**psi_(u""u) + psi_(ud)^**psi_(ud) = 3/5 3/5 + 4/5 4/5 = 25/25 = color(blue) (1)`
` color(blue) (rho_(3A,ud)) = psi_(du)^**psi_(u""u) + psi_(dd)^**psi_(ud) = 0xx3/5 + 0xx4/5 = color(blue) (0) `
` color(blue) (rho_(3A,du)) = psi_(u""u)^**psi_(du) + psi_(ud)^**psi_(dd) = 3/5 xx 0 + 4/5 xx 0 = color(blue) (0)`
` color(blue) (rho_(3A,dd)) = psi_(du)^**psi_(du) + psi_(dd)^**psi_(dd) = 0 xx 0 + 0 xx 0 = color(blue) (0)`
d'où :
` color(blue) ( [bbrho_(3A)]) = [ (1, 0), (0, 0)] ` `color(blue) ( Tr([bbrho_(3A)]) = 1) `
` color(blue) ( [bbrho_(3A)]^2) = [ (1, 0), (0, 0)] ` `color(blue) ( Tr([bbrho_(3A)]^2) = 1) `
Propriétés :
- ` [bbrho_(3A)]^2 = [bbrho_(3A)] `.
- `Tr[bbrho_(3A)]^2 = Tr[bbrho_(3A)] = 1` .
`=>` Donc avec l'état ` "|"psi_3> = 1/5 (3|u""u> + 4|ud>) ` le s/système ` color(blue) ("Alice") ` est dans un état pur .
La matrice de densité ` color(chocolate) ([bbrho_(3B)] "de Bob") ` est la suivante :
` color(chocolate) (rho_(3B,u""u)) = psi_(u""u)^**psi_(u""u) + psi_(du)^**psi_(du) = 3/5 3/5 + 0xx0 = color(chocolate) (9/25)`
` color(chocolate) (rho_(3B,ud)) = psi_(ud)^**psi_(u""u) + psi_(dd)^**psi_(du) = 4/5 3/5 + 0 xx 0 = color(chocolate) (12/25)`
` color(chocolate) (rho_(3B,du)) = psi_(u""u)^**psi_(ud) + psi_(du)^**psi_(dd) = 3/5 4/5 + 0xx0 = color(chocolate) (12/25)`
` color(chocolate) (rho_(3B,dd)) = psi_(ud)^**psi_(ud) + psi_(dd)^**psi_(dd) = 4/5 4/5 + 0xx0 = color(chocolate) (16/25)`
d'où :
` color(chocolate) ( [bbrho_(3B)] ) = [ (9/25, 12/25), (12/25, 16/25)] ` `color(chocolate) ( Tr([bbrho_(3B)]) ) = 9/25 + 16/25 color(chocolate) (= 1) `
` color(chocolate) ( [bbrho_(3B)]^2 )= [ (9/25, 12/25), (12/25, 16/25)][ (9/25, 12/25), (12/25, 16/25)] = 1/5^2 [ (9, 12), (12, 16)] 1/5^2 [ (9, 12), (12, 16)] `
` = 1/5^4[ (81+144, 108+192), (108+192, 144+256)] = 1/5^4 [ (225, 300), (300, 400)] ` avec `class{fo}{ 225/25 =9, 300/25 = 12, 400/25 =16 }`
` = 1/5^2 [ (9, 12), (12, 16)] = color(chocolate) ( [bbrho_(3B)] )`
Propriétés :
- ` [bbrho_(3B)]^2 = [bbrho_(3B)] `.
- `Tr[bbrho_(3B)]^2 = Tr[bbrho_(3B)] = 1` .
`=>` Donc avec l'état ` "|"psi_3> = 1/5 (3|u""u> + 4|ud>) ` le s/système de `color(chocolate) ("Bob")` est dans un état pur .