La relation générale entre l'opérateur, les vecteurs propres et les valeurs propres va être ici :

`vec(sigma)*vec(tau) "|"lambda_i">" = lambda_i"|"lambda_i">"`

sachant que :

`color (chocolate) (vec(sigma)*vec(tau) = sigma_x tau_x + sigma_y tau_y + sigma_z tau_z`  définition ` color(chocolate) ( (1) ) `

Avec `color(blue) ( "|"si"n"g">" )` on obtient suite aux différentes démonstrations de la section 6.9 :

` sigma_x tau_x "|"si"n"g">" = -"|"si"n"g">" `

` sigma_y tau_y "|"si"n"g">" = -"|"si"n"g">" `

` sigma_z tau_z "|"si"n"g">" = -"|"si"n"g">" `

donc :

`color(blue) (vec(sigma)*vec(tau)"|"si"n"g">" = -3 "|"si"n"g">" )`  en faisant la somme vu la définition ` color(chocolate) ( (1) ) `

et :

` ul( "|"si"n"g">" )` est bien un vecteur propre de `vec(sigma)*vec(tau)` avec la valeur propre `ul( lambda_s = -3 )`

- - - - - - - - -

Avec les résultats intermédiaires obtenus dans l'exercice 6.7, on obtient pour `color(blue) ( "|"T1">" )` :

` sigma_x tau_x "|"T1">" = "|"T1">" `

` sigma_y tau_y "|"T1">" = "|"T1">" `

` sigma_z tau_z "|"T1">" = -"|"T1">" `

donc :

`color(blue) (vec(sigma)*vec(tau)"|"T1">" = "|"T1">" )`  en faisant la somme vu la définition ` color(chocolate) ( (1) ) `

et :

`ul( "|"T1">" )` est bien un vecteur propre de `vec(sigma)*vec(tau)` avec la valeur propre `ul( lambda_(T1) = +1 )`

- - - - - - - - -

Avec les résultats intermédiaires obtenus dans l'exercice 6.8, on obtient pour `color(blue) ( "|"T2">" )` :

` sigma_x tau_x "|"T2">" = "|"T2">" `

` sigma_y tau_y "|"T2">" = "|"T2">" `

` sigma_z tau_z "|"T2">" = -"|"T2">" `

donc :

`color(blue) (vec(sigma)*vec(tau)"|"T2">" = "|"T2">" )`  en faisant la somme vu la définition ` color(chocolate) ( (1) ) `

et :

`ul( "|"T2">" )` est bien un vecteur propre de `vec(sigma)*vec(tau)` avec la valeur propre `ul( lambda_(T2) = +1 )`

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Avec aussi les résultats intermédiaires obtenus dans l'exercice 6.8, on obtient pour `color(blue) ( "|"T3">" )` :

` sigma_x tau_x "|"T3">" = "|"T3">" `

` sigma_y tau_y "|"T3">" = "|"T3">" `

` sigma_z tau_z "|"T3">" = -"|"T3">" `

donc :

`color(blue) (vec(sigma)*vec(tau)"|"T3">" = "|"T3">" )`  en faisant la somme vu la définition ` color(chocolate) ( (1) ) `

et :

`ul( "|"T3">" )` est bien un vecteur propre de `vec(sigma)*vec(tau)` avec la valeur propre `ul( lambda_(T3) = +1 )`

Comme la valeur propre `ul( lambda = +1 )` est obtenue pour trois vecteurs propres différents, on a vu qu'elle était dégénérée.