Les étapes du mode d'emploi de l'équation de Schrödinger détaillées chap 4.13 page 121 sont les suivantes :

1) Obtenir l'opérateur hamiltonien `bbH`.

2) Préparer un état initial `"|"Psi(0)>`.

3) Trouver les valeurs et vecteurs propres de `bbH` en résolvant l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

`bbH|E_j> = E_j|E_j>`

4) Utiliser le vecteur-état initial `"|"Psi(0)>` et la base obtenue par les vecteurs propres dans l'étape 3) pour calculer les coefficients initiaux :

` alpha_j(0) = < E_j|Psi(0)>`

5) Réécrire `"|"Psi(0)>` en termes de vecteurs propres `"|"E_j>` et des coefficients initiaux `alpha_j(0)` :

`"|"Psi(0)> = sum_j alpha_j(0)|E_j>`

6) Développer de la même manière `"|"Psi(t)>` dans la base des vecteurs propres de `bbH` :

`"|"Psi(t)> = sum_j alpha_j(t)|E_j>`

7) Remplacer chaque `alpha_j(t)` par sa valeur ` alpha_j(0) e^(-("i"/ℏ)E_jt)` obtenue dans l'équation (4.30) page 119 :

`"|"Psi(t)> = sum_j alpha_j(0)e^(-("i"/ℏ)E_jt)|E_j>`

8) Calculer les probabilités d'obtenir différentes mesures (valeurs propres), ici celles de `sigma_y` :

Partie 1) Obtenir l'opérateur hamiltonien `bbH`.

`bbH = (omegaℏ)/2 sigma_z`  `[sigma_z] = [(1,0),(0, -1)]`

donc : `color(blue) ( bbH = [((omegaℏ)/2,0),(0, -(omegaℏ)/2)] )`

Partie 2) Préparer un état initial `"|"Psi(0)>`.

L'état initial dans lequel `sigma_z=+1` nous est donné comme étant `"|"u >`, donc :

` color(blue) ( "|"Psi(0)> = "|"u > ) = 1xx"|"u > + 0xx"|"d >`

Partie 3) Trouver les valeurs et vecteurs propres de `bbH` en résolvant l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

`bbH|E_j> = E_j|E_j>`

valeurs propres :

` det [bbH-lambda bbI] = |((omegaℏ)/2 - lambda, 0),( 0, -(omegaℏ)/2 - lambda) | `

et ` det [bbH-lambda bbI] = 0` nous donne:

` -((omegaℏ)/2 - lambda) ((omegaℏ)/2 + lambda) = 0 `

donc :  `color(blue) ( lambda_1 = E_1 = +(omegaℏ)/2 )`,   `color(blue) ( lambda_2 = E_2 = -(omegaℏ)/2 )`

vecteurs propres :

Comme la relation générale entre valeurs propres et vecteurs propres est la suivante :

`color(chocolate) ( (((omegaℏ)/2 - lambda_i, 0),( 0, -(omegaℏ)/2 - lambda_i) )(E_(lambda_i))=0 )`  avec `"|"E_i > = ((x_i),(y_i)) x_i, y_i in RR`

on obtient pour `color(blue) ( lambda_1= + (ℏomega)/2 )`  le calcul suivant du vecteur propre associé `E_(lambda_1)` :

`(((omegaℏ)/2 - (omegaℏ)/2, 0),( 0, -(omegaℏ)/2 - (omegaℏ)/2) )((x_1),(y_1))=0 ` ;   `((0, 0),( 0, -omegaℏ) )((x_1),(y_1))=0 `

` 0xx x_1 + 0xx y_1 = 0 `

` 0xx x_1 - omegaℏ xx y_1 = 0 `

En prenant la 2ème relation, on obtient : ` y_1=0 `,  `x_1 = ` 'valeur quelconque' `= 1` pour plus de facilité,

donc : `color(blue) ( "|"E_1> = ((1),(0)) = "|" u> )`

et pour `color(blue) ( lambda_2= - (ℏomega)/2 )`  le calcul du vecteur propre associé `E_(lambda_2)` donne :

`(((omegaℏ)/2 - (-(omegaℏ)/2), 0),( 0, -(omegaℏ)/2 - (-(omegaℏ)/2)) )((x_2),(y_2))=0 ` ;   `((omegaℏ, 0),( 0, 0) )((x_2),(y_2))=0 `

` omegaℏ xx x_2 + 0 xx y_2 = 0 `

` 0xx x_2 + 0 xx y_2 = 0 `

En prenant la 1ère relation, on obtient : ` x_2=0 `,  `y_2 = ` 'valeur quelconque' `= 1` pour plus de facilité,

donc : `color(blue) ( "|"E_2> = ((0),(1)) = "|" d> )`

Partie 4) Utiliser le vecteur-état initial `"|"Psi(0)>` et la base obtenue par les vecteurs propres dans l'étape 3) pour calculer les coefficients initiaux :

` alpha_j(0) = < E_j|Psi(0)>`

On a  `"|"Psi(0)> = "|"u >`,  `"|"E_1> = "|"u>` et `"|"E_2> = "|"d>`

donc :

`color(blue) ( alpha_1(0) = < u|u > = 1 )`

`color(blue) ( alpha_2(0) = < d|u > = 0 )`

Partie 5) Réécrire `"|"Psi(0)>` en termes de vecteurs propres `"|"E_j>` et des coefficients initiaux `alpha_j(0)` :

`"|"Psi(0)> = sum_j alpha_j(0)|E_j>`

donc :

`"|"Psi(0)> = alpha_1(0)|E_1> + alpha_2(0)|E_2>`

`color(blue) ( "|"Psi(0)> = 1|u> + 0|d> )`

Partie 6) Développer de la même manière `"|"Psi(t)>` dans la base des vecteurs propres de `bbH` :

`"|"Psi(t)> = sum_j alpha_j(t)|E_j>`

`color(blue) ("|"Psi(t)> = alpha_1(t)|u> + alpha_2(t)|d> )`

Partie 7) Remplacer chaque `alpha_j(t)` par sa valeur ` alpha_j(0) e^(-("i"/ℏ)E_jt)` obtenue dans l'équation (4.30) page 119 :

`"|"Psi(t)> = sum_j alpha_j(0)e^(-("i"/ℏ)E_jt)|E_j>`

` alpha_1(t) = alpha_1(0) xx e^(-("i"/ℏ)(ℏomega)/2 t) = 1 xx e^(-("i"/ℏ)(ℏomega)/2 t)`

`color(blue) (alpha_1(t) = e^(-"i"omega/2 t) )`

` alpha_2(t) = alpha_2(0) xx e^(-("i"/ℏ)-(ℏomega)/2 t) = 0 xx e^(-("i"/ℏ)-(ℏomega)/2 t) `

`color(blue) (alpha_2(t) = 0 )`

donc :

`color(blue) ("|"Psi(t)> = e^(-"i"omega/2 t) |u> )` qui est effectivement la première solution à une équation de Schrödinger que nous avons déterminée ! !

Partie 8) Calculer les probabilités d'obtenir différentes mesures (valeurs propres), ici celles de `sigma_y` .

Nous pouvons prédire la probabilité des résultats possibles d'une expérience en fonction du temps.

Rappel :

Si l'observable `[bbL]` , ici `[sigma_y]` , a les les valeurs propres `lambda_j` et les vecteurs propres associès `"|"lambda_j>`,

alors la probabilité d'obtenir une mesure `lambda_j` au temps `t` est :

` P_(lambda_i) = |< lambda_i|Psi(t)> |^2 `

Mais calculons d'abord les valeurs propres et les vecteurs propres de `[sigma_y]`

Valeurs propres de `[sigma_y]` :

Comme `[sigma_y] = [(0, -"i"),("i", 0)]` :

` det [ sigma_y - lambda bbI ] = | (-lambda, -"i"),("i", -lambda) | = 0 `,   :

` lambda^2+"i"^2 = lambda^2 - 1 = 0`  ce qui donne :  `color(blue) ( lambda = +-1 )`

Vecteurs propres de `[sigma_y]` :

- pour `color(blue) ( lambda_1=+1 ) [(0-1, -"i"),("i", 0-1)] [(x_1),(y_1)]=0 `

et donc :

`-x_1 - "i"y_1 = 0 `

`"i"x_1 - y_1 = 0 `

ce qui donne : `y_1 = "i" x_1` et `color(blue) ("|"E_1> =((1),(i)) )`

- et pour `color(blue) ( lambda_2=-1 ) [(0+1, -"i"),("i", 0+1)] [(x_2),(y_2)]=0 `

donc :

`x_2 - "i"y_2 = 0 `

`"i"x_2 + y_2 = 0 `

ce qui donne : `y_2 = -"i" x_2` et `color(blue) ("|"E_2> =((1),(-i)) )`

Mais ATTENTION, `"|" "|"E_1> |^2` ` = "|" "|"E_2> |^2 =2`  donc   `color(chocolate) ("|" "|"E_i> |=sqrt2 )` ,

et si l'on garde ces valeurs `"|"E_1>` et `"|"E_2>` inchangées, on va obtenir des sommes de probablité supérieures à `1`, il faut donc normaliser pour obtenir :

`color(blue) ( "|"E_1> =((1/sqrt2),(i/sqrt2)) )` et  `color(blue) ( "|"E_2> =((1/sqrt2),(-i/sqrt2)) )` respectivement égales à `color(blue) ( "|"i > )` et `color(blue) ( "|"o > )`

Remarque :

On se rend compte que l'on aurait pu prendre directement  `color(blue) ( "|"i > )` et `color(blue) ( "|"o > )` comme vecteurs propres de `sigma_y`

pour `lambda=+1` et `lambda=-1` .

On avait déjà fait ce calcul lors de la détermination des matrices de Pauli dont fait partie `[sigma_y]`.

Probabilité d'obtention des mesures de `sigma_y`

On peut maintenant calculer les probabilités d'obtention des mesures.

Pour `color(blue) (lambda=+1 )` et donc `color(blue) (sigma_y=+1 )` on a :

`color(blue) ( Pr(sigma_y=+1) = |< i|Psi(t)> |^2 )`  puisque  `"|"lambda_1> = "|"E_1> = "|"i>`

avec :

` < i|Psi(t)> = ( 1/sqrt2 < u"|" - "i"/sqrt2 < d"|") (e^(-"i"omega/2 t) "|"u> )`

` =1/sqrt2 e^(-"i"omega/2 t)`

et :

`< Psi(t) | i > = (< i|Psi(t)>)^** = 1/sqrt2 e^("i"omega/2 t) `

donc :

`color(blue) ( Pr(sigma_y=+1) ) = 1/sqrt2 e^(-"i"omega/2 t) 1/sqrt2 e^("i"omega/2 t) color(blue) ( = 1/2) `

Pour `color(blue) (lambda=-1 )` et donc `color(blue) (sigma_y=-1 )` on a :

`color(blue) ( Pr(sigma_y=-1) = |< o|Psi(t)> |^2 )`  puisque  `"|"lambda_2> = "|"E_2> = "|"o>`

avec :

` < o|Psi(t)> = ( 1/sqrt2 < u"|" + "i"/sqrt2 < d"|") (e^(-"i"omega/2 t) "|"u> )`

` =1/sqrt2 e^(-"i"omega/2 t)`

et :

`< Psi(t) | o > = (< o|Psi(t)>)^** = 1/sqrt2 e^("i"omega/2 t) `

donc :

`color(blue) ( Pr(sigma_y=-1)) = 1/sqrt2 e^(-"i"omega/2 t) 1/sqrt2 e^("i"omega/2 t) color(blue) (= 1/2) `

Et on a bien : `color(chocolate) ( Pr(sigma_y=+1) + Pr(sigma_y=-1) = 1 )`

`ul(Remarque) \ ` :

Une erreur s'était glissée dans l'exposant de l'exponentielle lors de cette partie de calcul des probabilités.

Merci à ali el hamidi de l'avoir signalée.