Les expressions générales de ` "|"i>` et `"|"o> ` sont les suivantes :

` "|"i> = alpha "|"u> + beta"|"d>`         avec la notation de l'exercice 2.3

`= alpha_(i,u) "|"u> + alpha_(i,d)"|"d>`    avec notre notation

` "|"o> = gamma "|"u> + delta"|"d>`         avec la notation de l'exercice 2.3

`= alpha_(o,u) "|"u> + alpha_(o,d)"|"d>`    avec notre notation

Les contraintes qui nous aident à déterminer ` "|"i>` et `"|"o> ` sont :

C1 : `alpha_(i,u)`  et  `alpha_(i,d)`   ne peuvent être tous les deux réels en même temps ,

`alpha_(o,u)`  et  `alpha_(o,d)`   non plus ,

vu la dernière clause de l'exercice 2.3 .

C2 : ` < i"|"o> = < o"|"i > = 0 ` puisque  ` "|"i> `  et `"|"o> `  sont distincts et donc orthonormés.

C3 :

Pour `"|"i>`   l'appareil `ccA` a préparé le spin le long de l'axe Oy avec `sigma_y = +1`  et pour `"|"o>`  avec `sigma_y = -1`

Dans les deux cas, quand on tourne l'appareil `ccA` le long de l'axe Oz, on a autant de chance d'avoir la mesure `sigma_z = +1`  que `sigma_z = -1`

soit 1 chance sur 2 (50%).

Pour `color(blue)("|"i >)` on a  ` alpha_(i,u)alpha_(i,u)^** = 1/2`,

prenons ` alpha_(i,u) = 1/sqrt 2` (qui n'est pas unique) ; par la contrainte C1 on doit avoir ` alpha_(i,d)` Imaginaire pur

donc  ` alpha_(i,d) = +-i/sqrt 2`    puisque ` alpha_(i,u)alpha_(i,u)^** + alpha_(i,d)alpha_(i,d)^** = 1`.

Si l'on choisit  ` alpha_(i,d) = +i/sqrt 2` alors ` alpha_(i,d)^** = -i/sqrt 2`

On vérifie que la condition C3 est remplie :

` alpha_(i,d)alpha_(i,d)^** = i/sqrt 2(-i/sqrt 2)= -i^2 /2 = - (-1)/2 = 1/2` (ok)

et on peut donc écrire que :    `color(blue)( "|"i > = 1/sqrt 2 "|"u> + i/sqrt 2 "|"d>)`  ce qui est le résultat attendu.

Maintenant pour `color(blue)( "|"o>) = alpha_(o,u) "|"u> + alpha_(o,d) "|"d>`

prenons ` alpha_(o,u) = 1/sqrt 2`  le plus simple pour que la condition ` alpha_(o,u)alpha_(o,u)^** = 1/2` soit remplie,

on doit avoir ` < i"|"o > = 0` puisque les deux vecteurs sont orthogonaux (au sens espace vectoriel complexe).

Si ` "|"i > = 1/sqrt 2 "|"u> + i/sqrt 2 "|"d>`

et ` "|"o > = 1/sqrt 2 "|"u> + alpha_(o,d) "|"d>` 

alors :

` < i"|"o > = alpha_(i,u)^**alpha_(o,u) + alpha_(i,d)^**alpha_(o,d) = 1/sqrt 2 1/sqrt 2 -i/sqrt 2 alpha_(o,d) = 0`

d'où :  ` i/sqrt 2 alpha_(o,d)=1/2`

et :  ` alpha_(o,d) = sqrt 2 /(2i) = -i/sqrt 2`   puisque   ` 1/i = (1xxi)/(ixxi) = i/i^2 = i/-1 = -i`

` alpha_(o,d) = -i/sqrt 2`

donc : `color(blue)( "|"o > = 1/sqrt 2 "|"u> - i/sqrt 2 "|"d>)`    qui est le résultat attendu.