Introduction.

On part de la matrice `sigma_n` (3.23) page 83 :

`sigma_n = ((n_z, n_x-i n_y),(n_x+i n_y, -n_z))` ce qui donne avec les valeurs de `n_x, n_y, n_z` :

`sigma_n = ((cos theta, sin theta cos phi - isin theta sin phi),(sin theta cos phi + isin theta sin phi, -cos theta))`

et l'on va calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de cette matrice.

Partie 1 : Rappel méthodologique.

Dans l'exercice 3.3 précédent où l'on devait résoudre ce même type de problème, on partait de :

`[(cos theta-1,sin theta),(sin theta,-cos theta-1)][(x),(y)]=0`  pour `lambda=+1`

avec le conseil de faire `x=cos alpha` et `y=sin alpha` réels. 

Qu'est-ce que cela nous apportait ?

En prenant la 1ère ligne :

` (cos theta-1)x + (sin theta) y = 0`

`x cos theta - x + y sin theta =0`

`x cos theta + y sin theta - x =0`

on pouvait faire apparaitre la relation : `cos a cos b + sin a sin b=cos(a-b)` pour obtenir :

`cos(theta-alpha)=cos alpha` que l'on pouvait résoudre pour trouver la valeur de `alpha`.

Et ça marchait !

Là comme nous ne sommes plus dans le plan, nous allons prendre des composantes complexes `z_1` et `z_2` mais toujours avec le même objectif de faire apparaitre ce genre de relation.

Et nous le ferons pour la partie Réelle et pour la partie Imaginaire.

Partie 2 : Calcul des valeurs propres.

On a la matrice caractéristique :

`[sigma_n] = [(cos theta-lambda, sin theta cos phi - isin theta sin phi),(sin theta cos phi + isin theta sin phi, -cos theta-lambda)]`

et le polynôme caractéristique :

`[sigma_n]_c = -(cos theta - lambda)(cos theta + lambda)-(sin^2theta cos^2phi + sin^2theta sin^2phi)`

`=-(cos^2theta-lambda^2)-sin^2theta(cos^2phi+sin^2phi)`

`=lambda^2-cos^2theta-sin^2theta = lambda^2-(cos^2theta+sin^2theta)`

`=lambda^2-1`

et :

`[sigma_n]_c =0` donne `lambda^2-1=0`, `lambda^2=1`

donc : `color(blue)(lambda= +-1)` pour les valeurs propres cherchées.

Partie 3 : Calcul du 1er vecteur propre : utilisation de de la partie réelle de l'équation

`ul(lambda=+1)` : équation générale :

On pose les composantes du vecteur propre `"|"lambda_1 >` comme étant complexes, soit :

`"|"lambda_1 > ((z_1),(z_2))` avec `z_1=x_1 + i y_1` , `z_2=x_2 + i y_2` , ce qui donne :

`((cos theta-1, sin theta cos phi - isin theta sin phi),(sin theta cos phi + isin theta sin phi, -cos theta-1)) ((x_1 + i y_1),(x_2 + i y_2))=0`

et en développant la 1ère ligne :

`(cos theta-1)(x_1 + i y_1) + (sin theta cos phi - isin theta sin phi)(x_2 + i y_2)=0`

`(x_1 cos theta - x_1) + i(y_1 cos theta - y_1)`

  `+ (x_2 sin theta cos phi + y_2 sin theta sin phi) + i(y_2 sin theta cos phi - x_2 sin theta sin phi)=0`

et en regroupant les parties réelles et imaginaires :

`(x_1 cos theta - x_1 + x_2 sin theta cos phi + y_2 sin theta sin phi)`

  `+ i(y_1 cos theta - y_1 + y_2 sin theta cos phi - x_2 sin theta sin phi)=0`

Quand un nombre complexe est nul, sa partie rélle et sa partie imaginaire sont nulles.

`ul(lambda=+1)` : partie réelle :

`(x_1 cos theta - x_1 + x_2 sin theta cos phi + y_2 sin theta sin phi)=0`

et en mettant en facteur :

`x_1 cos theta - x_1 +sin theta(x_2 cos phi + y_2 sin phi)=0`

Maintenant nous allons appliquer deux fois la méthode annoncée en faisant apparaitre l'inconnue `alpha` :

`ul( a) )` :

pour la partie `(x_2 cos phi + y_2 sin phi)` posons `x_2=cos alpha` et `y_2=sin alpha` , on obtient :

`x_1 cos theta - x_1 + sin theta(cos alpha cos phi + sin alpha sin phi)=0`

et en appliquant la relation de `cos(a-b)` :

`x_1 cos theta - x_1 + sin theta cos(alpha - phi)=0`

ensuite

`ul( b) )` :

posons `x_1=sin(alpha - phi)` pour obtenir maintenant :

` sin(alpha - phi)cos theta - sin(alpha - phi) + sin theta cos(alpha - phi)=0 `

` sin(alpha - phi)cos theta + sin theta cos(alpha - phi)= sin(alpha - phi) `

Cette fois çi nous pouvons effectuer un regroupement en appliquant `sin a cos b + sin b cos a = sin(a+b)`

ce qui nous donne :

`color(blue) (sin(alpha - phi + theta) = sin(alpha - phi))`  que l'on peut résoudre et calculer `alpha`.

Pour une équation trigonométrique de ce type `sin a = sin b`, on a comme solutions :   

a) `a=b`    b) `a= pi -b`

ce qui donne ici :

a) `alpha - phi + theta = alpha - phi`       b) `alpha - phi + theta = pi -(alpha - phi)`

 `cancel(alpha) - phi + theta = cancel(alpha) - phi`        `alpha - phi + theta = pi -alpha + phi`

 pas de solution en `alpha`              `2 alpha=pi+ phi + phi - theta = pi + 2phi - theta`

`alpha= pi/2 + phi - theta/2`

On a donc la solution b) : `color(blue)(alpha=pi/2 + phi - theta/2)`

ce qui permet de calculer les valeurs `x_2, y_2, x_1` des composantes `z_1`  et  `z_2` en fonction de `theta` et `phi` connus :

`color(blue)(x_2) = cos alpha = cos (pi/2 + phi - theta/2)`

`color(blue)(= -sin(phi - theta/2))`

`color(blue)(y_2) = sin alpha = sin (pi/2 + phi - theta/2)`

`color(blue)(= cos(phi - theta/2))`

`color(blue)(x_1) = sin(alpha - phi) = sin(pi/2 + phi - theta/2 - phi)`

`= sin(pi/2 - theta/2)`

`color(blue)(= cos(theta/2))`

Partie 4 :  Calcul du 1er vecteur propre : utilisation de de la partie imaginaire de l'équation - Obtention du premier vecteur propre.

La partie imaginaire de l'équation va nous permettre maintenant de calculer la composante manquante, à savoir `y_1`.

On a :

`y_1 cos theta - y_1 + y_2 sin theta cos phi - x_2 sin theta sin phi=0`  et avec la mise en facteur de `sintheta` :

  `y_1 cos theta - y_1 + sin theta(y_2 cos phi - x_2 sin phi)=0`

et comme nous venons de déterminer :

`x_2=-sin(phi - theta/2)` et `y_2=cos(phi - theta/2)` l'équation de la partie imaginaire devient :

  `y_1 cos theta - y_1 + sin theta(cos(phi - theta/2) cos phi + sin(phi - theta/2) sin phi)=0`

L'expression derrière le facteur `sin theta` est de la forme ` cosa cosb + sina sinb = cos(a-b) ` ce qui donne :

`y_1 cos theta - y_1 + sin theta cos(phi - theta/2 - phi) =0`  et comme `cos(-theta/2)=cos(theta/2)`, on obtient :

`y_1 cos theta - y_1 + sin theta cos(theta/2) =0`  et avec la mise en facteur de `y_1` :

`y_1(cos theta - 1) + sin theta cos(theta/2) =0`  d'où :

`y_1 = sin theta cos(theta/2) / (1 - cos theta)`

Comme on a l'égalité : ` sin theta / (1 - cos theta) = cot(theta/2)` :

`color(blue)(y_1 = cot(theta/2) cos(theta/2))`

Donc pour la valeur propre  `color(blue)(lambda=+1)` 

le premier vecteur propre est   `color(blue)("|"lambda_1 > ((cos(theta/2)+ i cot(theta/2) cos(theta/2)),(-sin(phi-theta/2) + i cos(phi - theta/2)))`

Vérification :

J'ai vérifié que l'on avait bien :

`[sigma_n]` ` "|"lamda_1> = lambda_1 "|"lamda_1 > = "|"lamda_1 >`  puisque `lambda_1 = +1`

à savoir que :

`((cos theta, sin theta cos phi - isin theta sin phi),(sin theta cos phi + isin theta sin phi, -cos theta))` `((cos(theta/2)+ i cot(theta/2) cos(theta/2)),(-sin(phi-theta/2) + i cos(phi - theta/2)))` = `((cos(theta/2)+ i cot(theta/2) cos(theta/2)),(-sin(phi-theta/2) + i cos(phi - theta/2)))`

C'est CORRECT : et je suis très content de cette 1ère vérification.

Comme le déroulement est un peu long, je ne l'ai pas mis.

Si vous me le demandez je le mettrai. Pas de problème.

Partie 5 :  Calcul du 2ème vecteur propre : utilisation de de la partie réelle de l'équation

`ul(lambda=-1)` : équation générale :

On pose les composantes du vecteur propre `"|"lambda_2 >` comme étant complexes, soit :

`"|"lambda_2 > ((z_1^'),(z_2^'))` avec `z_1^'=x_1^' + i y_1^'` , `z_2^'=x_2^' + i y_2^'` , ce qui donne :

`((cos theta+1, sin theta cos phi - isin theta sin phi),(sin theta cos phi + isin theta sin phi, -cos theta+1)) ((x_1^' + i y_1^'),(x_2^' + i y_2^'))=0`

et en développant la 1ère ligne :

`(cos theta+1)(x_1^' + i y_1^') + (sin theta cos phi - isin theta sin phi)(x_2^' + i y_2^')=0`

`(x_1^' cos theta + x_1^') + i(y_1^' cos theta + y_1^')`

  `+ (x_2^' sin theta cos phi + y_2^' sin theta sin phi) + i(y_2^' sin theta cos phi - x_2^' sin theta sin phi)=0`

et en regroupant les parties réelles et imaginaires :

`(x_1^' cos theta + x_1^' + x_2^' sin theta cos phi + y_2^' sin theta sin phi)`

  `+ i(y_1^' cos theta + y_1^' + y_2^' sin theta cos phi - x_2^' sin theta sin phi)=0`

Quand un nombre complexe est nul, sa partie rélle et sa partie imaginaire sont nulles.

`ul(lambda=-1)` : partie réelle :

`(x_1^' cos theta + x_1^' + x_2^' sin theta cos phi + y_2^' sin theta sin phi)=0`

et en mettant en facteur `sintheta` :

`x_1^' cos theta - x_1^' +sin theta(x_2^' cos phi + y_2^' sin phi)=0`

Comme précedemment nous allons appliquer deux fois la méthode annoncée en faisant apparaitre l'inconnue `alpha` :

`ul( a) )` :

pour la partie `(x_2^' cos phi + y_2^' sin phi)` posons `x_2^'=cos alpha` et `y_2^'=sin alpha` , on obtient :

`x_1^' cos theta + x_1^' + sin theta(cos alpha cos phi + sin alpha sin phi)=0`

et en appliquant la relation de `cosacosb+sinasinb=cos(a-b)` :

`x_1^' cos theta + x_1^' + sin theta cos(alpha - phi)=0`

ensuite

`ul( b) )` :

posons `x_1^'=sin(alpha - phi)` pour obtenir maintenant :

` sin(alpha - phi)cos theta + sin(alpha - phi) + sin theta cos(alpha - phi)=0 `

` sin(alpha - phi)cos theta + sin theta cos(alpha - phi)= -sin(alpha - phi) `

Nous pouvons encore effectuer un regroupement en appliquant `sin a cos b + sin b cos a = sin(a+b)`

ce qui nous donne :

`sin(alpha - phi + theta) = -sin(alpha - phi)`

`sin(alpha - phi + theta) = sin(phi -alpha)`  puisque `-sina=sin(-a)`

`color(blue) (sin(alpha - phi + theta) = sin(phi - alpha))`  que l'on peut résoudre et calculer `alpha`.

Toujours de la même manière pour l'équation trigonométrique `sin a = sin b`, on a comme solutions :   

a) `a=b`    b) `a= pi -b`

ce qui donne ici :

a) `alpha - phi + theta = phi - alpha`       b) `alpha - phi + theta = pi -(phi - alpha)`

 `2alpha = 2phi - theta`        `cancel(alpha) - phi + theta = pi - phi + cancel(alpha)`

`alpha = phi - theta/2`          pas de solution en `alpha`

On a donc la solution a) : `color(blue)(alpha= phi - theta/2)`

ce qui permet de calculer les valeurs `x_2^', y_2^', x_1^'` des composantes `z_1^'`  et  `z_2^'` en fonction de `theta` et `phi` connus :

`color(blue)(x_2^') = cos alpha `

`color(blue)(= cos(phi - theta/2))`

`color(blue)(y_2^') = sin alpha`

`color(blue)(= sin(phi - theta/2))`

`color(blue)(x_1^') = sin(alpha - phi) = sin(phi - theta/2 - phi)`

`= sin(- theta/2)`

`color(blue)(= -sin(theta/2))`

Partie 6 :  Calcul du 2ème vecteur propre : utilisation de de la partie imaginaire de l'équation - Obtention du deuxième vecteur propre.

La partie imaginaire de l'équation va nous permettre de la même manière de calculer la composante manquante, à savoir `y_1^'`.

On a :

`y_1^' cos theta + y_1^' + y_2^' sin theta cos phi - x_2^' sin theta sin phi=0`  et avec la mise en facteur :

  `y_1^' cos theta + y_1^' + sin theta(y_2^' cos phi - x_2^' sin phi)=0`

et comme nous venons de déterminer :

`x_2^'=cos(phi - theta/2)` et `y_2^'=sin(phi - theta/2)` l'équation de la partie imaginaire devient :

  `y_1^' cos theta + y_1^' + sin theta(sin(phi - theta/2) cos phi - cos(phi - theta/2) sin phi)=0`

L'expression derrière le facteur `sin theta` est de la forme ` sina cosb - sinb cosa = sin(a-b) ` ce qui donne :

`y_1^' cos theta + y_1^' + sin theta sin(phi - theta/2 - phi) =0`  et comme `sin(-theta/2)=-sin(theta/2)`, on obtient :

`y_1^' cos theta + y_1^' - sin theta sin(theta/2) =0`  et avec la mise en facteur de `y_1^'` :

`y_1^'(cos theta + 1) - sin theta sin(theta/2) =0`  d'où :

`y_1^' = sin theta sin(theta/2) / (cos theta + 1)`

Comme on a l'égalité : ` sin theta / (cos theta + 1) = tan(theta/2)` :

`color(blue)(y_1^' = tan(theta/2) sin(theta/2))`

Donc pour la valeur propre  `color(blue)(lambda=-1)` 

le deuxième vecteur propre est `color(blue)("|"lambda_2 > ((-sin(theta/2)+ i sin(theta/2) tan(theta/2)),(cos(phi-theta/2) + i sin(phi - theta/2)))`

Partie 7 : Vérification de l'orthogonalité des deux vecteurs propres.  

Ceci permet de s'assurer que l'on a bien deux vecteurs distincts.

On a   `"|"lambda_1>((z_1),(z_2))` et  `"|"lambda_2>((z_1^'),(z_2^'))`,

et on doit vérifier : `< lambda_1"|"lambda_2> =0 `

`< lambda_1"|" = z_1^** < u| + z_2^** < d|`

`"|" lambda_2 > = z_1^' "|" u > + z_2^' "|" d>`

`< lambda_1"|"lambda_2> = z_1^** z_1^' + z_2^** z_2^' ` avec :

`z_1^** = cos(theta/2) - i cot(theta/2)cos(theta/2)`

`z_1^' = -sin(theta/2) + i sin(theta/2)tan(theta/2)`

`z_2^** = -sin(phi - theta/2) - i cos(phi - theta/2)`

`z_2^' = cos(phi - theta/2) + i sin(phi - theta/2)`

donc :

`< lambda_1"|"lambda_2> = color(green)("(")cos(theta/2) - i cot(theta/2)cos(theta/2)color(green)(")(")-sin(theta/2) + i sin(theta/2)tan(theta/2)color(green)(")")`

`+ color(purple)("(")-sin(phi - theta/2) - i cos(phi - theta/2)color(purple)(")(")cos(phi - theta/2) + i sin(phi - theta/2)color(purple)(")")`

que l'on va partitionner pour moins se mélanger :

`< lambda_1"|"lambda_2> = color(green)("{{(")cos(theta/2) - i cot(theta/2)cos(theta/2)color(green)(")(")-sin(theta/2) + i sin(theta/2)tan(theta/2)color(green)(")}}")` `color(green)((1))`

`+ color(purple)("{{(")-sin(phi - theta/2) - i cos(phi - theta/2)color(purple)(")(")cos(phi - theta/2) + i sin(phi - theta/2)color(purple)(")}}")` `color(purple)((2))`

En commençant par la 1ère ligne et en regroupant les parties réelles et imaginaires, on a :

`color(green)({{ - }})` `color(green)((1))` `= (cos(theta/2)(-sin(theta/2)) + cot(theta/2)cos(theta/2)sin(theta/2)tan(theta/2))`

`+ i(cos(theta/2)sin(theta/2)tan(theta/2) + cot(theta/2)cos(theta/2)sin(theta/2))`

Dans la partie Réelle on peut faire la simplification suivante :

`cot(theta/2)tan(theta/2) = 1` puisque `cota=cosa/sina` et `tana=sina/cosa` donc l'inverse.

et cela donne  `cota tana = cosa/sina sina/cosa =1`

et il va rester dans cette partie Réelle :

`(cos(theta/2)(-sin(theta/2)) + cos(theta/2)sin(theta/2))`

`= -cos(theta/2)sin(theta/2) + cos(theta/2)sin(theta/2)`  en sortant le signe `"-"`

`= 0`  ce qui est toujours bon à prendre.

Pour la partie Imaginaire :

on trouve dans le premier produit `cosa tana` ce qui fait `cosa sina/cosa` et donc `sina` après simplification.

et dans le deuxième produit il y a `cota sina` ce qui fait `cosa/sina sina` et donc `cosa` après simplification.

La partie Imaginaire de vient donc `+i(sin(theta/2)sin(theta/2) + cos(theta/2)cos(theta/2)) = +i(sin^2(theta/2)+cos^2(theta/2)) = +i`

puisque `sin^2a + cos^2a = 1`

On a donc :

`color(green)({{ - }})` `color(green)((1))` `= 0+i = +i`

En prenant maintenant la 2ème ligne et en regroupant de même les parties réelles et imaginaires, on a :

`color(purple)({{ - }})` `color(purple)((2))` `= ((-sin(phi-theta/2)cos(phi-theta/2)) + cos(phi-theta/2)sin(phi-theta/2))`

`+ i(-sin(phi-theta/2)sin(phi-theta/2) - cos(phi-theta/2)cos(phi-theta/2))`

Dans la partie Réelle on peut faire la simplification suivante :

`-sin(phi-theta/2)cos(phi-theta/2) + cos(phi-theta/2)sin(phi-theta/2)=0`  directement puisqu'on a la forme `-sinacosa + cosasina`

Pour la partie Imaginaire :

on trouve : `+ i(-sin(phi-theta/2)sin(phi-theta/2) - cos(phi-theta/2)cos(phi-theta/2)) = -i(sin^2(phi-theta/2)+cos^2(phi-theta/2))=-i`

puisque `sin^2a + cos^2a = 1`

On a donc :

`color(purple)({{ - }})` `color(purple)((2))` `= 0-i = -i`

Pour terminer on a :

`< lambda_1"|"lambda_2> =color(green)({{ - }})` `color(green)((1))` `+` `color(purple)({{ - }})` `color(purple)((2))` `= color(green)(+i) color(purple)(-i) = 0`

`< lambda_1"|"lambda_2> =0`  ce que l'on voulait démontrer.

Nos deux vecteurs sont bien ORTHOGONAUX.

Partie 8 : Vérification que la somme des probabilités d'apparition des mesures est bien égale à 1.

Si l'état préparé est `"|"u >` et que l'on a tourné l'appareil `ccA` comme indiqué par l'opérateur `[sigma_n]` , on doit avoir la somme des probabilités :

`Pr(sigma = +1) + Pr(sigma = -1)=1`, avec :

`Pr(sigma = +1) = | < u"|"lambda_1> |^2` et :

`Pr(sigma = -1) = | < u"|"lambda_2> |^2`.

Mais on trouve (je ne fais pas le calcul complet dans ce cas) :

`Pr(sigma = +1) = cot^2(theta/2)`

`Pr(sigma = -1) = tan^2(theta/2)`

et donc la somme fait  `cot^2(theta/2)+tan^2(theta/2)` ce qui est différent de `1`.

Cette vérification a donc été utile car elle nous a montré qu'il fallait avoir des vecteurs propres normés.

C'est ce que nous allons déterminer maintenant.

Rappel :

Soit par exemple `vec(v_1)((1+2i),(-i)) = vec(v_1)((z_1),(z_2))` un vecteur à composantes complexes, on a :

avec `z=a+ib`,  `z^**=a-ib`,  `|z|^2 =z z^** = a^2+b^2` réel, qu'il ne faut pas confondre avec `z^2` complexe.

`|v_1|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2`       

`= (1^2+2^2)+(-1)^2 = 5+1 = 6`

donc `|v_1|=sqrt 6`

alors  `hat(v_1)=vec(v_1)/|v_1|` sera un vecteur unitaire

de composantes  `hat(v_1)((1/sqrt6 +2/sqrt6i),(-i/sqrt6))`

Maintenant calculons les normes de `"|"lambda_1>` et `"|"lambda_2>` .

On a : `"|"lambda_1>((z_1),(z_2))`  avec :

`z_1=cos(theta/2) + icot(theta/2)cos(theta/2)` 

`z_2=-sin(phi-theta/2) + icos(phi-theta/2)` 

donc :

`color(brown) (|z_1|^2) =cos^2(theta/2) + cot^2(theta/2)cos^2(theta/2)` 

`=cos^2(theta/2)(1 + cot^2(theta/2))`

`=cos^2(theta/2)/sin^2(theta/2)`     puisque  `1 + cot^2(theta/2)=1/sin^2(theta/2)` (1)

`color(brown) (=cot^2(theta/2))`

et :

`color(deeppink) (|z_2|^2)=sin^2(phi-theta/2) + cos^2(phi-theta/2)` 

`color(deeppink) (= 1)`

ce qui donne :

`"|" ` `"|"lambda_1>|^2 = color(brown) (|z_1|^2) + color(deeppink) (|z_2|^2) = cot^2(theta/2) + 1=1/sin^2(theta/2)`  avec l'égalité (1)

`color(blue)("|")` `color(blue)("|"lambda_1>| = 1/sin(theta/2))`

De la même manière pour : `"|"lambda_2>((z_1^'),(z_2^'))`  avec :

`z_1^'=-sin(theta/2) + isin(theta/2)tan(theta/2)` 

`z_2^'=cos(phi-theta/2) + isin(phi-theta/2)` 

donc :

`color(green) (|z_1^'|^2)=sin^2(theta/2) + sin^2(theta/2)tan^2(theta/2)` 

`=sin^2(theta/2)(1+ + tan^2(theta/2))`

`=sin^2(theta/2)/cos^2(theta/2)`     puisque  `1 + tan^2(theta/2)=1/cos^2(theta/2)` (2)

`color(green) (=tan^2(theta/2))`

et :

`color(deeppink) (|z_2^'|^2) =cos^2(phi-theta/2) + sin^2(phi-theta/2) ` 

`color(deeppink) (= 1)`

ce qui donne :

`"|" ` `"|"lambda_2>|^2 = color(green) (|z_1^'|^2) + color(deeppink) (|z_2^'|^2) = tan^2(theta/2) + 1=1/cos^2(theta/2)`  avec l'égalité (2)

`color(blue)("|")` `color(blue)("|"lambda_2>| = 1/cos(theta/2))`

Partie 10 : Obtention des vecteurs propres normalisés définitifs et vérification finale de la Partie_8.

On a pour l'instant :

pour la valeur propre  `color(blue)(lambda=+1)` 

le premier vecteur propre   `color(blue)("|"lambda_1 ">" ((cos(theta/2)+ i cot(theta/2) cos(theta/2)),(-sin(phi-theta/2) + i cos(phi - theta/2)))`

Et pour la valeur propre  `color(blue)(lambda=-1)` 

le deuxième vecteur propre  `color(blue)("|"lambda_2 ">" ((-sin(theta/2)+ i sin(theta/2) tan(theta/2)),(cos(phi-theta/2) + i sin(phi - theta/2)))`

que l'on va chacun diviser par leur norme pour obtenir un vecteur normé, c'est à dire tel que `< lambda"|"lambda> =1`.

soit :

pour `ul("|"lambda_1 ">")` et `lambda = +1` :

`"|"hat(lambda_1)">" = 1/(1/sin(theta/2))"|"lambda_1">" = sin(theta/2)"|"lambda_1 ">" = ((sin(theta/2)cos(theta/2)+ i sin(theta/2)cot(theta/2)cos(theta/2)),(-sin(theta/2)sin(phi-theta/2) + i sin(theta/2)cos(phi - theta/2)))`

et en simplifiant la partie imaginaire de la 1ère ligne :

`sin(theta/2)cot(theta/2)cos(theta/2) = sin(theta/2)cos(theta/2)/sin(theta/2)cos(theta/2) = cos^2(theta/2)`

on obtient :

`"|"hat(lambda_1)">" =((sin(theta/2)cos(theta/2)+ i cos^2(theta/2)),(-sin(theta/2)sin(phi-theta/2) + i sin(theta/2)cos(phi - theta/2)))`

Et pour `ul("|"lambda_2 ">")` avec `lambda = -1` :

`"|"hat(lambda_2) ">" = 1/(1/cos(theta/2))"|"lambda_2 ">" = cos(theta/2)"|"lambda_2 ">" = ((-cos(theta/2)sin(theta/2)+ i cos(theta/2)sin(theta/2)tan(theta/2)),(cos(theta/2)cos(phi-theta/2) + i cos(theta/2)sin(phi - theta/2)))`

et en simplifiant la partie imaginaire de la 1ère ligne :

`cos(theta/2)sin(theta/2)tan(theta/2) = cos(theta/2)sin(theta/2)sin(theta/2)/cos(theta/2) = sin^2(theta/2)`

on obtient :

`"|"hat(lambda_2)">" =((-cos(theta/2)sin(theta/2)+ i sin^2(theta/2)),(cos(theta/2)cos(phi-theta/2) + i cos(theta/2)sin(phi - theta/2)))`

On peut aussi simplifier l'écriture en utilisant les formules d'Euler :

`color(brown) (cos alpha + i sin alpha = e^(ialpha) )`

`color(brown) (cos alpha - i sin alpha = e^(-ialpha) )`

` color(brown) (sin alpha + i cos alpha) = i(cos alpha + 1/i sin alpha) = i(cos alpha -i sin alpha) `

` = e^(ipi/2) e^(-ialpha) `  puisque ` i=isin(pi/2) ` et ` cos(pi/2)=0 `

` color(brown) (= e^(i(pi/2-alpha)) )`

et :

`color(brown) (sin alpha - i cos alpha) = bar(sin alpha + i cos alpha)`

`color(brown) (= e^(-i(pi/2-alpha)) )`

ce qui donne maintenant :

`color(#ff00ff) ("|"hat(lambda_1)">") = ((cos(theta/2)(sin(theta/2)+ i cos(theta/2))),(-sin(theta/2)(sin(phi-theta/2) - i cos(phi - theta/2))))`

`color(#ff00ff) (= ((cos(theta/2)e^(i(pi/2 - theta/2))),(-sin(theta/2)e^(-i(pi/2 -(phi-theta/2))) ) ) `

ainsi que :

`color(#ff00ff) ("|"hat(lambda_2) ">") =((-sin(theta/2) (cos(theta/2)- i sin(theta/2))),(cos(theta/2)(cos(phi-theta/2) + i sin(phi - theta/2))))`

`color(#ff00ff) ( =((-sin(theta/2) e^(-i(theta/2))),(cos(theta/2) e^(i(phi-theta/2)) ) ))`

Refaisons maintenant la vérification sur la somme des probabilités d'une mesure.

Si l'état préparé est `"|"u >` et que l'on a tourné l'appareil `ccA` comme indiqué par l'opérateur `[sigma_n]` , on doit avoir la somme des probabilités :

`Pr(sigma = +1) + Pr(sigma = -1)=1`, avec :

`Pr(sigma = +1) = | < u"|"lambda_1> |^2` et :

`Pr(sigma = -1) = | < u"|"lambda_2> |^2`.

`< u"|"lambda_1>` étant la composante suivant `"|"u>` de  `"|"lambda_1>` et :

`< u"|"lambda_2>` étant la composante suivant `"|"u>` de  `"|"lambda_2>`.

On a donc  `color(brown) (Pr(sigma = +1)) = | < u"|"lambda_1> |^2 = < u"|"lambda_1"><" lambda_1"|"u> `

` =((sin(theta/2)cos(theta/2)+ i cos^2(theta/2))((sin(theta/2)cos(theta/2)- i cos^2(theta/2)) `

`= sin^2(theta/2)cos^2(theta/2) + cos^4(theta/2)`    puisque `(a+b)(a-b)=a^2-b^2`

`= cos^2(theta/2)(sin^2(theta/2) + cos^2(theta/2))`

`color(brown) (= cos^2(theta/2))`

Et aussi  `color(green) (Pr(sigma = -1)) = | < u"|"lambda_2> |^2 = < u"|"lambda_2"><" lambda_2"|"u> `

` =((-cos(theta/2)sin(theta/2)+ i sin^2(theta/2))((-cos(theta/2)sin(theta/2)- i sin^2(theta/2)) `

`=cos^2(theta/2)sin^2(theta/2) + sin^4(theta/2)`    puisque `(a+b)(a-b)=a^2-b^2`

`=sin^2(theta/2)(cos^2(theta/2) + sin^2(theta/2))`

`color(green) (=sin^2(theta/2))`

ce qui nous donne :

`color(blue) (Pr(sigma = +1) + Pr(sigma = -1))= color(brown) (cos^2(theta/2)) + color(green) (sin^2(theta/2)) `  

`color(blue) (= 1)`   ce que l'on voulait démontrer.