On a chaque état :

` |A">" = alpha_u |u">" + alpha_d |d">"` pour Alice

` |B">" = beta_u |u">" + beta_d |d">"` pour Bob

avec les conditions de normalisation (6.4) :

` alpha_u^** alpha_u + alpha_d^** alpha_d = 1`  (1)  qui est égal à `"<"A|A">" `

` beta_u^** beta_u + beta_d^** beta_d = 1`  (2)  qui est égal à `"<"B|B">" `

Comme le vecteur état-produit `|AB">"` de l'équation (6.5) a la forme :

` |AB">" = |A"}" otimes "|"B">" = (alpha_u |u"}" + alpha_d |d"}") otimes(beta_u |u">" + beta_d |d">") `

` = alpha_u beta_u (|u"}" ox |u">") + alpha_u beta_d (|u"}" ox |d">") + alpha_d beta_u (|d"}" ox |u">") + alpha_d beta_d (|d"}" ox |d">") `

` = alpha_u beta_u |u"u" ">" + alpha_u beta_d |ud">" + alpha_d beta_u |du">" + alpha_d beta_d |dd">" `

on doit vérifier que `color(chocolate) ("<"AB|AB">" = 1 )` qui est la condition de normalisation par définition .

Avec les relations (1) et (2), on a ` "<"A|A">" "<"B|B">" = 1 `

qui s'exprime aussi par :

`color(deeppink) ("<"A|A">" "<"B|B">") = alpha_u^**alpha_u beta_u^**beta_u + alpha_u^**alpha_u beta_d^**beta_d + alpha_d^**alpha_d beta_u^**beta_u + alpha_d^**alpha_d beta_d^**beta_d `

`=1`

et pour ` "<"AB|AB">" ` on trouve :

`color(chocolate) ("<"AB|AB">") = alpha_u^**beta_u^** alpha_u beta_u + alpha_u^**beta_d^** alpha_u beta_d + alpha_d^**beta_u^** alpha_d beta_u + alpha_d^**beta_d^** alpha_d beta_d `

ce qui devient en réordonnant chaque terme sous la forme `color(#6ace3b) (alpha_i^**alpha_i) color(brown) (beta_j^**beta_j) ` :

`color(blue) ( "<"AB|AB">") = alpha_u^**alpha_u beta_u^**beta_u + alpha_u^**alpha_u beta_d^**beta_d + alpha_d^**alpha_d beta_u^**beta_u + alpha_d^**alpha_d beta_d^**beta_d `

` = color(deeppink) ("<"A|A">" "<"B|B">" )`

`color(blue) ( = 1 )`  qui est le résultat recherché.

Les conditions de normalisation (6.4) sont donc suffisantes pour que le vecteur état-produit `|AB">"` soit normalisé dans l'espace composite sans rajout de contraintes supplémentaires.