Exercice 1.1
Les axiomes utilisés sont les suivants :
- < A| { B > + |C> } = <A B> + <A|C> ( 1 )
- <B|A> = <A|B>* ( 2 )
a)
On part de :
{ <A| + <B| } |C = [ <C| { |A> + |B> } ]* par ( 2 )
= [ <C|A> + <C|B> ]* par ( 1 )
= <C|A>* + <C|B>* par Complément 1.1
= <A|C> + <B|C> ce que l'on voulait démontrer.
b_1)
Si |A > = ` ((alpha_1),(alpha_2),(vdots),(alpha_n))` alors < A| = ` (alpha_1^**,alpha_2^**,.....,alpha_n^**)`
et < A|A > = ` alpha_1 alpha_1^** + alpha_2 alpha_2^** + . . . + alpha_n alpha_n^** `
avec ` alpha_j in CC` et ` alpha_j = a_j + ib_j `
donc ` alpha_j alpha_j^** = a_j^2 + b_j^2 in RR `
et < A|A > = `sum_(j=1)^n (a_j^2 + b_j^2) in RR ` ce que l'on voulait démontrer.
ou
b_2)
Comme <A|B> = <B|A>* par l'axiome (2)
on a : <A|A> = <A|A>* qui est un nombre complexe par définition du produit scalaire d'un bra avec un ket (voir chap 1.9.4).
Et un nombre complexe égal à son conjugué est forcément réel.
Donc <A|A> est réel.