En reprenant les notes obtenues sur le site https://fr.scribd.com/document/389409032/Susskind-Quantum-Mechanics-Notes ,
une solution plus simple pour l'exercice 3.4 est proposée.
Je la communique et la mets en forme ci-dessous.
Ensuite nous comparerons avec la solution obtenue précédemment.
Nous étions partis de la matrice `sigma_n` (3.23) page 83 :
`sigma_n = ((n_z, n_x-i n_y),(n_x+i n_y, -n_z))` ce qui donne avec les valeurs de `n_x, n_y, n_z` :
`sigma_n = ((cos theta, sin theta cos phi - isin theta sin phi),(sin theta cos phi + isin theta sin phi, -cos theta))`
et l'on doit calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de cette matrice.
Les valeurs propres cherchées sont : `color(blue)(lambda= +-1)` .
1) `ul(lambda=+1)` , résolution de l'équation :
On pose les composantes du vecteur propre `"|"lambda_1 :)` comme étant complexes, soit :
`"|"lambda_1 :)` ` ((z_1),(z_2))` mais maintenant on ne les met `ul(pas)` pas sous la forme `z_1=x_1 + i y_1` , `z_2=x_2 + i y_2` , ce qui donne :
`((cos theta-1, sin theta cos phi - isin theta sin phi),(sin theta cos phi + isin theta sin phi, -cos theta-1)) ((z_1),(z_2))=0`
et en développant la 1ère ligne :
`(cos theta-1)z_1 + (sin theta cos phi - isin theta sin phi)z_2=0`
`(cos theta-1)z_1 + sin theta (cos phi - i sin phi)z_2=0`
et maintenant :
`(cos theta-1)z_1 + sin theta\ e^(-i phi)z_2=0`
`z_1 cos theta - z1 + sin theta\ e^(-i phi)z_2=0`
Posons `z1 = cos alpha `, ` z2 = sin alpha\ e^(i phi) ` , il vient :
` cos alpha \ cos theta - cos alpha + sin theta\ e^(-i phi) \ sin alpha\ e^(i phi) = 0`
` cos alpha \ cos theta + sin theta\ sin alpha = cos alpha `
` cos (alpha - theta) = cos alpha ` en ayant appliqué ` cos a cos b + sin a sin b = cos(a-b) `
d'où les deux possibilités :
` alpha - theta = alpha ` ` alpha - theta = - alpha `
` 0 xx alpha = theta ` ` 2 alpha = theta `
` -> ` Pas de solution ` alpha = theta / 2 `
soient les valeurs :
` z1 = cos (theta/2) `
` z2 = e^(i phi) sin (theta/2) `
et le premier vecteur propre :
`color(blue)("|"lambda_1 :) color(blue) ( = ((cos(theta/2)) ,(e^(i phi)sin(theta/2) ) ) = color(blue)("|"lambda_1 :)_2 ` puisque c'est notre 2ème solution.
Ce vecteur est déjà unitaire puisque :
` z_1^2 + z_2^2 = cos^2(theta/2) + "|"e^(i phi)"|"^2 sin^2(theta/2) = cos^2(theta/2) + 1 xx sin^2(theta/2) = 1 `
Comparons maintenant avec la solution obtenue précédemment dans l'exercice 3.4 dans sa formulation unitaire avec la formule d'Euler :
`color(#ff00ff)("|" lambda_1 :) color(#ff00ff)( = ( (cos(theta/2)e^(i(pi/2 - theta/2))),(-sin(theta/2)e^(-i(pi/2 -(phi-theta/2))) ) ) = color(#ff00ff)("|" lambda_1 :)_1 ` puisque c'est notre 1-ère solution.
On peut espérer y trouver un facteur multiplicatif puisque nous sommes dans un système linéaire,
ou un facteur de phase comme indiqué page 106.
Sur la 1-ère ligne en cosinus, le facteur de phase est évident et égal à ` color(brown) (e^(i(pi/2 - theta/2)) )` .
Regardons maintenant la seconde en sinus.
On a :
` -sin(theta/2)e^(-i(pi/2 -(phi-theta/2)) ) = sin(theta/2)e^(i(pi -(pi/2 -(phi-theta/2))) ` puisque ` -1 = e^(i pi) `
` = sin(theta/2) e^(i(pi -pi/2 + phi-theta/2)) `
` = sin(theta/2) e^(i(pi/2 + phi-theta/2)) `
` = sin(theta/2) e^(i phi)\ e^(i(pi/2 -theta/2)) = e^(i phi) sin(theta/2) \ e^(i(pi/2 -theta/2))`
et l'on retrouve bien notre facteur de phase ` class{cmjx-highlight}{color(brown) (e^(i(pi/2 - theta/2)) ) }` .
On a donc :
` color(#ff00ff)("|" lambda_1">"_1) =` ` color(brown) (e^(i(pi/2 - theta/2)) )` ` color(blue) ("|" lambda_1">"_2 ) `
et nos deux solutions sont valables, ce qui est rassurant.
2) `ul(lambda=-1)` , résolution de l'équation :
On pose les composantes du vecteur propre `"|"lambda_2 :)` comme étant complexes, soit :
`"|"lambda_2 :)` ` ((z_1^'),(z_2^'))` mais on ne les met `ul(pas)` pas sous la forme `z_1^'=x_1^' + i y_1^'` , `z_2^'=x_2^' + i y_2^'` , ce qui donne :
`((cos theta+1, sin theta cos phi - isin theta sin phi),(sin theta cos phi + isin theta sin phi, -cos theta+1)) ((z_1^'),(z_2^'))=0`
et en développant la 1ère ligne :
`(cos theta+1)z_1^' + (sin theta cos phi - isin theta sin phi)z_2^'=0`
`(cos theta+1)z_1^' + sin theta (cos phi - i sin phi)z_2^'=0`
et maintenant :
`(cos theta+1)z_1^' + sin theta\ e^(-i phi)z_2^'=0`
`z_1^' cos theta + z_1^' + sin theta\ e^(-i phi)z_2^'=0`
Posons `z_1^' = cos alpha `, ` z_2^' = sin alpha\ e^(i phi) ` , il vient :
` cos alpha \ cos theta + cos alpha + sin theta\ e^(-i phi) \ sin alpha\ e^(i phi) = 0`
` cos alpha \ cos theta + sin theta\ sin alpha = -cos alpha `
` cos (alpha - theta) = -cos alpha ` en ayant appliqué ` cos a cos b + sin a sin b = cos(a-b) `
` cos (alpha - theta) = cos(pi-alpha) `
d'où les deux possibilités :
` alpha - theta = pi-alpha ` ` alpha - theta = - (pi - alpha) `
` 2 alpha = pi + theta ` ` alpha - theta = alpha - pi`
` alpha = pi/2 + theta/2 ` ` -> ` pas de solution
soient les valeurs :
` z_1^' = cos (pi/2 + theta/2) = -sin(theta/2) `
` z_2^' = e^(i phi) sin (pi/2 + theta/2) = e^(i phi) cos(theta/2) `
et le deuxième vecteur propre :
`color(blue)("|"lambda_2 :) color(blue) ( = (( -sin(theta/2) ) , ( e^(i phi)cos(theta/2) )) = color(blue)( "|"lambda_2 :)_2 ` puisque c'est notre 2ème solution.
Ce vecteur est aussi unitaire puisque :
` z_1^('2) + z_2^('2) = sin^2(theta/2) + "|"e^(i phi)"|"^2 cos^2(theta/2) = sin^2(theta/2) + 1 xx cos^2(theta/2) = 1 `
Comparons maintenant avec la solution obtenue précédemment dans l'exercice 3.4 dans sa formulation unitaire avec la formule d'Euler :
`color(#ff00ff)("|"lambda_2 :) color(#ff00ff) ( = ((-sin(theta/2) e^(-i(theta/2))),(cos(theta/2) e^(i(phi-theta/2)) ) ) = color(#ff00ff)("|" lambda_2 :)_1` puisque c'est notre 1-ère solution.
On peut de même espérer y trouver un facteur multiplicatif puisque nous sommes dans un système linéaire,
ou un facteur de phase comme indiqué page 106.
Sur la 1-ère ligne en sinus, le facteur de phase est évident et égal à ` color(brown) (e^(-i(theta/2)) )` .
Regardons maintenant la seconde en cosinus.
On a :
` cos(theta/2)e^(i(phi-theta/2) ) = cos(theta/2) e^(i phi)\ e^(-i(theta/2)) `
` = e^(i phi) cos(theta/2) \ e^(-i(theta/2) `
et l'on retrouve bien notre facteur de phase ` class{cmjx-highlight}{color(brown) (e^(-i(theta/2)) ) }` .
On a donc :
` color(#ff00ff)("|" lambda_2">"_1 ) = ` ` color(brown) (e^(-i(theta/2)) )` ` color(blue) ("|" lambda_2">"_2 )`
et nos deux solutions sont valables, ce qui était attendu mais quand même bienvenu.
