Obtention de la matrice de densité `[bbrho]` d'Alice.

Ce complément a été proposé par Jean-Yves Vialat. Merci à lui.

On va procéder par identification en travaillant à partir de la Trace.

Rappels :

Soit   ` (: bbM :) = (: psi | bbM | psi:) `  l'espérance mathématique de l'observable `bbM` lorsque le système est dans l'état  `|psi:)` et aussi

` (: bbM :) = Tr ([bbrho][bbM]) = Tr ("|"psi"><"psi"|" [bbM]) `  que l'on vient de voir dans ce chapitre.

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` bbA^' ` est l'observable du s/système d'Alice lorsqu'on est dans un système combiné  ` "|"psi> = sum_(ab)psi_(ab)"|"ab> `:

` (: bbA^' :) = Tr ("|"psi:)(:psi"|"[bbA^']ox[bbI]) `   avec `[bbA^']` de dimension 2x2,

et ` [bbA^']ox[bbI] ` de dimension 4x4, pour être compatible

avec l'opérateur ` "|"psi:)(:psi"|" ` de tous les coefficients `psi_(ab)`.

On a :

` "|"psi"><"psi"|" = [ (psi_(u""u)), (psi_(ud)),(psi_(du)),(psi_(dd)) ] [( psi_(u""u)^**, psi_(ud)^**,psi_(du)^**,psi_(dd)^** )]`

` = [ ( psi_(u""u)psi_(u""u)^**, psi_(u""u)psi_(ud)^**, psi_(u""u)psi_(du)^**, psi_(u""u)psi_(dd)^**), ( psi_(ud)psi_(u""u)^**, psi_(ud)psi_(ud)^**, psi_(ud)psi_(du)^**, psi_(ud)psi_(dd)^**), ( psi_(du)psi_(u""u)^**, psi_(du)psi_(ud)^**, psi_(du)psi_(du)^**, psi_(du)psi_(dd)^**), ( psi_(dd)psi_(u""u)^**, psi_(dd)psi_(ud)^**, psi_(dd)psi_(du)^**, psi_(dd)psi_(dd)^**) ]`

et :

` [bbA^'] ox [ bbI ] = [ (a_(u""u), a_(ud)), (a_(du), a_(dd)) ] ox [ ( 1, 0), (0, 1)] `

` = [ ( a_(u""u), 0, a_(ud),0 ), ( 0, a_(u""u), 0, a_(ud)), ( a_(du), 0, a_(dd), 0 ), ( 0, a_(du), 0, a_(dd) ) ] `

donc :

` Tr ("|"psi"><"psi"|"[bbA^']ox[bbI]) = psi_(u""u)psi_(u""u)^** color(brown)(a_(u""u)) + psi_(u""u)psi_(du)^** color(deeppink)(a_(ud)) `   Seuls les éléments diagonaux du produit produit matriciel ont été effectués,

` +   psi_(ud)psi_(ud)^** color(brown)(a_(u""u)) + psi_(ud)psi_(dd)^** color(deeppink)(a_(ud)) `   et directement additionnés pour trouver la Trace.

` +   psi_(du)psi_(u""u)^** color(green)(a_(du)) + psi_(du)psi_(du)^** color(purple)(a_(dd))`

` +   psi_(dd)psi_(ud)^** color(green)(a_(du)) + psi_(dd)psi_(dd)^** color(purple)(a_(dd)) `

que l'on va identifier avec :

` Tr( [bbrho^'] [bbA^']) = Tr ( [(a_(u""u), a_(ud)), (a_(du), a_(dd)) ] [(rho_(u""u), rho_(ud)), (rho_(du), rho_(dd)) ] )`

` = Tr ( [(a_(u""u)rho_(u""u) + a_(ud)rho_(du), a_(u""u)rho_(ud) + a_(ud)rho_(dd)), (a_(du)rho_(u""u) + a_(dd)rho_(du) , a_(du)rho_(ud) + a_(dd)rho_(dd)) ] ) `

` = color(brown)( a_(u""u)) rho_(u""u) + color(deeppink)( a_(ud)) rho_(du) + color(green)(a_(du)) rho_(ud) + color(purple)(a_(dd)) rho_(dd) `

Les mises en facteur des coefficients ` color(brown)( a_(u""u)), color(deeppink)( a_(ud)), color(green)(a_(du)), color(purple)(a_(dd)) ` donnent donc respectivement les valeurs de :

` color(brown) (rho_(u""u)) = psi_(u""u)psi_(u""u)^** + psi_(ud)psi_(ud)^** = psi_(u""u)^**psi_(u""u) + psi_(ud)^**psi_(ud) `   pour être conforme au résultat de la page 204.

` color(deeppink) (rho_(ud)) = psi_(u""u)psi_(du)^** + psi_(ud)psi_(dd)^** = psi_(du)^**psi_(u""u) + psi_(dd)^**psi_(ud)`

` color(green) (rho_(du)) = psi_(du)psi_(u""u)^** + psi_(dd)psi_(ud)^** = psi_(u""u)^**psi_(du) + psi_(ud)^**psi_(dd)`

` color(purple) (rho_(dd)) = psi_(du)psi_(du)^** + psi_(dd)psi_(dd)^** = psi_(du)^**psi_(du) + psi_(dd)^**psi_(dd) `

comme valeurs de la matrice de densité `color(blue) ( [bbrho] ) ` du s/système d'Alice que l'on cherchait.

Remarque :

On a pu faire l'identification de coefficients de la matrice ` "|"psi"><"psi"|"[bbA^']ox[bbI] ` de dimension 4x4, avec des coefficients de la matrice ` [bbrho^'] [bbA^'] ` de dimension 2x2 parce que l'on travaille au niveau de la Trace , sinon cela n'aurait pas été possible.