Exercice 2.2

Cet exercice est un peu long puisqu'il faut passer en revue les différentes conditions.

Donc allons-y.

Aller vers les parties 1), 2), 3), 4a). 4b).

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Voir NOTATION IMPORTANTE pour l'écriture des vecteurs |A> en général et donc ici pour |i > et |o >.

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Partie 1 )

Dans les équations (2.7) on doit vérifier que `< o | i > = 0`.

On a : `< o| = |o >^** = 1/sqrt 2 "|"u> + i/sqrt 2 "|"d>` `alpha_(o,u)` est Réel, `alpha_(o,d)` est Imaginaire

ce qui donne :
`< o "|" i > = 1/sqrt 2 1/sqrt 2 + i/sqrt 2 i/sqrt 2 = 1/2 + (i^2/2)`

`color(blue) (< o "|" i > = 1/2 - 1/2 = 0)` ce que l'on devait démontrer.

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Partie 2 )

Dans les équations (2.8) on doit vérifier que <o|u><u|o> = 1/2 ,

et la même chose pour <o|d><d|o>, <i|u><u|i> et <i|d><d|i> .

On a `< u "|" o > = alpha_u = alpha_(o,u)` vu la définition (2.1) page 30 et notre notation,

et `< o "|" u > = alpha_u^** = alpha_(o,u)^**`

donc `< u | o "><" o | u > = alpha_(o,u)alpha_(o,u)^**`.

L'expression (2) donne : `alpha_(o,u) = 1/sqrt 2 = alpha_(o,u)^**` puisque `alpha_(o,u)` est réel,

donc `color(blue) (< u | o "><" o | u > = 1/sqrt 2 1/sqrt 2 = 1/2)` ce que l'on devait démontrer.

Des calculs équivalents sont utilisés pour démontrer que <o|d><d|o> = <i|u><u|i> = <i|d><d|i> = 1/2.

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Partie 3 )

Dans les équations (2.9) on doit vérifier que `<o|r"><"r|o> = 1/2` ,

et la même chose pour `<o|l"><"l|o>, <i|o"><"o|i>` et `<i|l"><"l|i>` .

et

` "|"r> = 1/sqrt 2 "|"u> + 1/sqrt 2 "|"d> `

Le produit scalaire ` < o"|"r> = 1/sqrt 2 1/sqrt 2 + i/sqrt 2 1/sqrt 2 = 1/2 + i/2 ` il y a le signe "+" car on a pris le conjugué de |o>

`= 1/2(1+i) `

et comme ` < r"|"o> = < o"|"r>^**`

on obtient ` < r"|"o> = 1/2(1 - i) `

ce qui donne `color(blue) (< o|r"><"r|o>) = 1/2(1+i)1/2(1-i) = 1/4(1-i^2) = 1/4(1-(-1)) = 1/4(2)`

`color(blue) (= 1/2)` ce que l'on voulait démontrer

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Partie 4a )

Est-ce que | i > est unique ?

Rappel :

L'appareil A a préparé le spin suivant l'axe Oy avec sigma(y) = -1 et donc le spin est exprimé par | i > .

Si ensuite on mesure le spin le long de l'axe Oz, il a autant de chances d'être "up" ( | u >) que "down" (| d >) .

Le spin s'exprime par ` |i> = alpha_(i,u)|u> + alpha_(i,d)|d>`

avec ` alpha_(i,u)alpha_(i,u)^** = 1/2` et ` alpha_(i,d)alpha_(i,d)^** = 1/2` aussi.

Mais `color(blue) (alpha_(i,u) in CC)` et est de la forme `z = a + ib`

tandis que ` alpha_(i,u)^**` est de la forme `z^** = a - ib`

avec ` alpha_(i,u)alpha_(i,u)^** = 1/2 = z z^** = (a + ib)(a -ib) = a^2 + b^2`

Les coefficients de ` alpha_(i,u)` vérifient donc l'équation du cercle

` a^2 + b^2 = R^2 = 1/2` qui est un cercle de rayon `R = 1/sqrt 2 ~~0,7` .

Dans le cas présent on a `alpha_(i,u) = 1/sqrt 2` ce qui signifie `a = 1/sqrt 2, b = 0`.

mais on pourrait avoir `a^2 = b^2 = 1/4` puisque `1/4 + 1/4 = 1/2` .

donc `a = b = +-1/2` et par exemple `alpha_(i,u) = (1/2 + i 1/2)`ou `alpha_(i,u) = (-1/2 + i 1/2)` .

et d'une manière générale n'importe quelle valeur a et b pourvu que l'on reste sur le cercle.

Donc si ` alpha_(i,u)` n'est pas unique, alors `|i>` non plus.

Et de la même manière ` alpha_(i,d) ` n'est pas unique non plus.

Par contre des contraintes sont présentes et notamment celles que l'on rencontrera dans l'exercice 2.3 sur |i > et |o > :

` alpha_(i,u)`et ` alpha_(i,d)` ne pourront pas être réels ni imaginaires tous les deux en même temps.

Partie 4b )

Est-ce que | o > est unique ?

Le même raisonnement que pour | i > s'applique et donc |o> n'est pas unique non plus.