L'appareil `ccA` a été préparé pour ` sigma_x = +1` le long de Ox représenté par ` "|"r>` et donc

sa mesure le long de l'axe Oz donne 50% de chance pour `"|"u>` et 50% de chance pour `"|"d>`.

On a donc :  `alpha_(r,u)alpha_(r,u)^**=1/2` et `alpha_(r,d)alpha_(r,d)^**=1/2`

a) Obtention de `"|"r > :`

Une solution simple mais non unique (voir exercice 2.2-4a) est `alpha_(r,u)=1/sqrt 2` et  `alpha_(r,d)=1/sqrt 2`

ce qui donne :  ` color(blue)("|"r> = 1/sqrt 2 "|"u> + 1/sqrt 2 "|"d>) `  qui est notre expression de départ.

b) Obtention de `"|"l > :`

On va utiliser maintenant la contrainte qui dit que `"|"r >`  et `"|"l >`sont orthogonaux à savoir le produit scalaire `< r">< "l> = 0`

Si  `"|"l> = alpha_(l,u)"|"u> + alpha_(l,d)"|"d>`

le produit scalaire donne :

` alpha_(r,u)^**alpha_(l,u) + alpha_(r,d)^**alpha_(l,d) = 1/sqrt 2 alpha_(l,u) + 1/sqrt 2 alpha_(l,d) = 0 `    puisque nous connaissons les composantes de `"|"r>`

donc ` alpha_(l,u) + alpha_(l,d) = 0 ` et  ` alpha_(l,d) = -alpha_(l,u)`

Si nous prenons la solution simple non unique ` alpha_(l,u) = 1/sqrt 2` alors   `alpha_(l,d) = -1/sqrt 2`

ce qui donne :  `color(blue)("|"l> = 1/sqrt 2"|"u> - 1/sqrt 2"|"d>)`  qui est notre résultat attendu.