Démonstration de ` Pr(bara)=Pr(a)` .

Soit `barbbA = bbA - < bbA >I`

1) Montrons d'abord que `bbA` et `barbbA` ont les mêmes vecteurs propres :

Si `|a>` est vecteur propre de `bbA` alors `bbA|a> = a|a>`, `a` étant la valeur propre associée.

Calculons `barbbA |a>` :

` barbbA|a> = (bbA - < bbA ">I")|a> = bbA|a> - < bbA >|a> `

` = (a - < bbA >)|a> ` puisque `bbA|a> = a|a>`

Donc `|a>` est le vecteur propre de `barbbA` avec la valeur propre ` (bara = a - < bbA >) `

` bbA ` et ` barbbA ` étant de même dimension, ils ont les mêmes vecteurs propres, et  `|a> = |bara> `

2) Calculons maintenant ` Pr(bara) `, le système étant dans un état quelconque ` |X> `:

` Pr(bara) = < X|bara"><" bara|X> `, mais on a vu que `|bara> = |a> `

donc ` color(blue)(Pr(bara) =) < X|a"><" a|X> color (blue)(= Pr(a)) ` ce que l'on voulait démontrer.

Remarque 1 :

Au passage Philippe Tormo démontre que :

1) les valeurs propres sont décalées de ` < bbA > `

2) les vecteurs propres sont inchangés

ce qui était énoncé dans le paragraphe 5.4 page 136, mais non démontré !

Autre démonstration :

Prenons de la même manière ` bara = a - < a > ` .

` < bara > = Sigma_a bara Pr(bara) `

` = Sigma_a(a- "< a >")Pr(bara) `   

` = Sigma_a aPr(bara) - < a > Sigma_a Pr(bara) `

` = Sigma_a aPr(bara) - < a >`   puisque ` Sigma_a Pr(bara)= 1 `

mais ` < bara > = 0 ` car la distribution est centrée (on peut le démontrer aussi - Voir (**)), donc :

` Sigma_a aPr(bara) = < a > = Sigma_a aPr(a) `

d'où :

` color(blue) (Pr(bara) = Pr(a) ) `  ce que l'on voulait démontrer.

(**) : démonstration de ` < bara > = 0 `  avec ` bara = a - < a > `

Soit ` bba ` une variable aléatoire de valeurs ` {a_i} ` avec les probabilités ` {Pr (a_i)} ` associées.

` < bba > = Sigma_i a_i Pr(a_i) `

et soit ` k in bbbR ` un nombre positif ou négatif,

` < bba - k > = Sigma_i (a_i - k) Pr(a_i) `

` = Sigma_i a_iPr(a_i) - k Sigma_i Pr(a_i) `

` = Sigma_i a_iPr(a_i) - k`   puisque ` Sigma_i Pr(a_i)= 1 `

` = < bba > - k`   

Dans la situation présente  ` k = < bba > `  puisqu'une moyenne est un nombre,

donc :

` < bba - < bba > > = < bba > - < bba > = 0`

ce qui nous donne bien :

` color(blue) ( < bara > = 0)`  ce que l'on voulait démontrer.