Remarque :

La réponse juste après l'énoncé de l'exercice page 88 nous indique, pour nous allécher, que le résultat est le carré du cosinus de la moitié de l'angle entre `hat(m)` et `hat(n)` .

Il y a cependant une ambiguîté puisque nous sommes en coordonnées sphériques et qu'il y a deux angles  `theta` et `phi`.

Nous examinerons donc les deux cas, `theta` variable avec `phi` constant, et l'inverse .

1er cas : `theta` variable avec `phi` constant.

On va donc avoir l'état préparé le long du vecteur `vec(m)` avec `sigma_(m1)=+1` :

`vec(m)((m_z=costheta_1),(m_x=sintheta_1 cosphi),(m_y=sintheta_1 sinphi))` et ensuite l'appareil A tourné vers `vec(n)` :

`vec(n)((n_z=costheta_2),(n_x=sintheta_2 cosphi),(n_y=sintheta_2 sinphi))` 

Les vecteurs d'état étant respectivement  `"|"lambda_(1m)>` et `"|"lambda_(1n)>` , la valeur de la probabilité cherchée est :

`Pr(sigma_n=+1)="|"< lambda_(1m)| lambda_(1n)>|^2 = < lambda_(1m)| lambda_(1n)">< " lambda_(1m)| lambda_(1n)>^**` 

On part donc des vecteurs propres obtenus dans l'exercice 3.4, et plus particulièrement celui correspondant à la valeur propre `lambda=+1` soit :

`"|"hat(lambda_1) > =((sin(theta/2)cos(theta/2)+ i cos^2(theta/2)),(-sin(theta/2)sin(phi-theta/2) + i sin(theta/2)cos(phi - theta/2)))`

que l'on notera `"|"lambda_1 >` pour être homogène avec la suite du livre, puisque les vecteurs d'état sont de norme 1.

Les vecteurs correspondants à notre situation sont :

`"|"lambda_(1m) > = (sin(theta_1/2)cos(theta_1/2)+ i cos^2(theta_1/2))"|"u> + (-sin(theta_1/2)sin(phi-theta_1/2) + i sin(theta_1/2)cos(phi - theta_1/2))"|"d>` 

et :

`"|"lambda_(1n) > = (sin(theta_2/2)cos(theta_2/2)+ i cos^2(theta_2/2))"|"u> + (-sin(theta_2/2)sin(phi-theta_2/2) + i sin(theta_2/2)cos(phi - theta_2/2))"|"d>` 

La 1ère partie du calcul de la probabilité est :

`< lambda_(1m)| lambda_(1n)> =` `color(green)( [(sin(theta_1/2)cos(theta_1/2)- i cos^2(theta_1/2)) `  

`color(green)( (sin(theta_2/2)cos(theta_2/2)+ i cos^2(theta_2/2)) ]]`     `color(green)([-] (1))`

`+ color (brown)([(-sin(theta_1/2)sin(phi-theta_1/2) - i sin(theta_1/2)cos(phi - theta_1/2)))`

`color(brown)((-sin(theta_2/2)sin(phi-theta_2/2) + i sin(theta_2/2)cos(phi - theta_2/2))]]` `color(brown)([-] (2))`

En prenant le produit du 1er groupe `color(green)([-] (1))` et en regroupant les termes réels et imaginaires, on obtient :

`color(green)([-] (1)) =` `sin(theta_1/2)cos(theta_1/2)sin(theta_2/2)cos(theta_2/2) + cos^2(theta_1/2)cos^2(theta_2/2)`

`+ i(sin(theta_1/2)cos(theta_1/2)cos^2(theta_2/2) - cos^2(theta_1/2)sin(theta_2/2)cos(theta_2/2))`

`= cos(theta_1/2)cos(theta_2/2) color(green)((sin(theta_1/2)sin(theta_2/2) + cos(theta_1/2)cos(theta_2/2)))`

`+ i cos(theta_1/2)cos(theta_2/2) color(green)((sin(theta_1/2)cos(theta_2/2) - sin(theta_2/2)cos(theta_1/2)))`

`= cos(theta_1/2)cos(theta_2/2) color(green)(cos(theta_2/2 - theta_1/2))`      en appliquant `sinasinb + cosacosb = cos(a-b)`

`+ i cos(theta_1/2)cos(theta_2/2) color(green)(sin(theta_1/2 - theta_2/2))`    en appliquant `sinacosb - sinbcosa = sin(a-b)`

`= cos(theta_1/2)cos(theta_2/2) color(green)(cos(theta_2/2 - theta_1/2))`     

`- i cos(theta_1/2)cos(theta_2/2) color(green)(sin(theta_2/2 - theta_1/2))`   puisque `sin(b-a)=-sin(a-b)` pour avoir l'ordre `(theta_2-theta_1)`

Prenons maintenant le produit du 2ème groupe `color(brown)([-] (2))` :

`color(brown)([-] (2))` `= color (brown)([(-sin(theta_1/2)sin(phi-theta_1/2) - i sin(theta_1/2)cos(phi - theta_1/2))`

`color(brown)((-sin(theta_2/2)sin(phi-theta_2/2) + i sin(theta_2/2)cos(phi - theta_2/2))]]` 

Regroupons de la même manière les parties réelles et imaginaires :

`color(brown)([-] (2))``= [-sin(theta_1/2)sin(phi-theta_1/2)(-sin(theta_2/2)sin(phi-theta_2/2)`

`+ sin(theta_1/2)cos(phi - theta_1/2)sin(theta_2/2)cos(phi - theta_2/2)]`

`+ i [ -sin(theta_1/2)sin(phi-theta_1/2)sin(theta_2/2)cos(phi - theta_2/2)`

`+ sin(theta_2/2)sin(phi-theta_2/2)sin(theta_1/2)cos(phi - theta_1/2)]`  

On peut mettre en facteur `color(brown)(sin(theta_1/2)sin(theta_2/2))` dans la partie réelle et dans la partie imaginaire, soit :

`color(brown)([-] (2))``= [color(brown)(sin(theta_1/2)sin(theta_2/2)) (cos(phi - theta_1/2)cos(phi - theta_2/2) + sin(phi-theta_1/2)sin(phi-theta_2/2))]`

`+ i [ color(brown)(sin(theta_1/2)sin(theta_2/2)) (-sin(phi-theta_1/2)cos(phi - theta_2/2) + sin(phi-theta_2/2)cos(phi - theta_1/2)) ]`

et :

`color(brown)([-] (2))``= [color(brown)(sin(theta_1/2)sin(theta_2/2)) (cos((cancel(phi) - theta_1/2) -(cancel(phi) - theta_2/2))]`  en appliquant `cosacosb+sinasinb=cos(a-b)`

`+ i [ color(brown)(sin(theta_1/2)sin(theta_2/2)) (sin((cancel(phi)-theta_2/2)-(cancel(phi) - theta_1/2))]`  en appliquant `-sinbcosa+sinacosb=sin(a-b)`

ce qui donne :

`color(brown)([-] (2))``= [color(brown)(sin(theta_1/2)sin(theta_2/2)) cos(theta_2/2 - theta_1/2)]`  

`+ i [ color(brown)(sin(theta_1/2)sin(theta_2/2)) sin(theta_1/2-theta_2/2)]` 

ou :

`color(brown)([-] (2))``= color(brown)(sin(theta_1/2)sin(theta_2/2)) cos(theta_2/2 - theta_1/2)`  

`- i` ` color(brown)(sin(theta_1/2)sin(theta_2/2)) sin(theta_2/2-theta_1/2)` puisque `sin(b-a)=-sin(a-b)` et pour avoir l'ordre `theta_2-theta_1`

Maintenant, reprenons les deux groupes `color(green)([-] (1))` et `color(brown)([-] (2))` pour revenir à notre calcul de probabilité :

`< lambda_(1m)| lambda_(1n)> =` `color(green)([-] (1)) + color(brown)([-] (2))`

`= color(green) (cos(theta_1/2)cos(theta_2/2) cos(theta_2/2 - theta_1/2)- i  cos(theta_1/2)cos(theta_2/2) sin(theta_2/2 - theta_1/2))`   

`+`  ` color(brown) (sin(theta_1/2)sin(theta_2/2) cos(theta_2/2 - theta_1/2)- i  sin(theta_1/2)sin(theta_2/2) sin(theta_2/2-theta_1/2)` 

et en faisant les mises en facteur de `cos(theta_1/2)cos(theta_2/2)` et `sin(theta_1/2)sin(theta_2/2)`, respectivement sur la 1ère ligne et la 2ème ligne :

`< lambda_(1m)| lambda_(1n)> =` `color(green) (cos(theta_1/2)cos(theta_2/2)) (cos(theta_2/2 - theta_1/2)- i  sin(theta_2/2 - theta_1/2))`   

`+`  ` color(brown) (sin(theta_1/2)sin(theta_2/2)) (cos(theta_2/2 - theta_1/2)- i  sin(theta_2/2-theta_1/2))` 

`= (cos(theta_2/2 - theta_1/2)- i  sin(theta_2/2 - theta_1/2)) (color(green) (cos(theta_1/2)cos(theta_2/2)) + color(brown) (sin(theta_1/2)sin(theta_2/2)) )`

`= (cos(theta_2/2 - theta_1/2)- i  sin(theta_2/2 - theta_1/2)) (color(green) (cos(theta_2/2)cos(theta_1/2)) + color(brown) (sin(theta_2/2)sin(theta_1/2)) )`

`= (cos(theta_2/2 - theta_1/2)- i  sin(theta_2/2 - theta_1/2)) cos(color(green)(theta_2/2) - color(brown)(theta_1/2) ) ` en appliquant `cosacosb+sinasinb=cos(a-b)`

La valeur de la probabilité cherchée etant :

`Pr(sigma_n=+1)="|"< lambda_(1m)| lambda_(1n)>|^2 = < lambda_(1m)| lambda_(1n)">< " lambda_(1m)| lambda_(1n)>^**`, 

il nous reste à calculer `< " lambda_(1m)| lambda_(1n)>^**`

soit :

`< " lambda_(1m)| lambda_(1n)>^** = (cos(theta_2/2 - theta_1/2)+ i  sin(theta_2/2 - theta_1/2)) cos(theta_2/2 - theta_1/2) )` on passe de `-i` à `+i` puisqu'on prend le conjugué.

ce qui nous donne :

`Pr(sigma_n=+1)= (cos(theta_2/2 - theta_1/2)- i  sin(theta_2/2 - theta_1/2)) color(brown)(cos(theta_2/2-theta_1/2))) (cos(theta_2/2 - theta_1/2)+ i  sin(theta_2/2 - theta_1/2)) color(brown)(cos(theta_2/2-theta_1/2)) )` 

`=color(brown)(cos^2(theta_2/2 - theta_1/2)) (cos^2(theta_2/2 - theta_1/2) + sin^2(theta_2/2 - theta_1/2))`  avec `cos^2a+sin^2a=1`

`color (blue) (Pr(sigma_n=+1)= cos^2(theta_2/2 - theta_1/2))`  ce que l'on cherchait à démontrer.

Nous pouvons donc dire maintenant : YES, WE CAN. car cette démonstration là n'est pas arrivée toute seule non plus !

2ème cas : `theta` constant avec `phi` variable.

On va donc avoir l'état préparé le long du vecteur `vec(m_2)` avec `sigma_(m2)=+1` :

`vec(m_2)((m_(2z)=costheta_2),(m_(2x)=sintheta_2 cosphi_1),(m_(2y)=sintheta_2 sinphi_1))` et ensuite l'appareil A tourné vers `vec(n)` :

`vec(n)((n_z=costheta_2),(n_x=sintheta_2 cosphi_2),(n_y=sintheta_2 sinphi_2))` 

Les vecteurs d'état étant respectivement  `"|"lambda_(1m2)>` et `"|"lambda_(1n)>` , la valeur de la probabilité cherchée est :

`Pr(sigma_n=+1)="|"< lambda_(1m2)| lambda_(1n)>|^2 = < lambda_(1m2)| lambda_(1n)">< " lambda_(1m2)| lambda_(1n)>^**` 

On repart de la même manière des vecteurs propres obtenus dans l'exercice 3.4, et plus particulièrement celui correspondant à la valeur propre `lambda=+1` soit :

`"|"lambda_1 > =((sin(theta/2)cos(theta/2)+ i cos^2(theta/2)),(-sin(theta/2)sin(phi-theta/2) + i sin(theta/2)cos(phi - theta/2)))`

Les vecteurs correspondants à notre situation sont :

`"|"lambda_(1m2) > = (sin(theta_2/2)cos(theta_2/2)+ i cos^2(theta_2/2))"|"u> + (-sin(theta_2/2)sin(phi_1-theta_2/2) + i sin(theta_2/2)cos(phi_1 - theta_2/2))"|"d>` 

et :

`"|"lambda_(1n) > = (sin(theta_2/2)cos(theta_2/2)+ i cos^2(theta_2/2))"|"u> + (-sin(theta_2/2)sin(phi_2-theta_2/2) + i sin(theta_2/2)cos(phi_2 - theta_2/2))"|"d>` 

Cependant en effectuant les calculs de la probabilité :

`Pr(sigma_n=+1)="|"< lambda_(1m2)| lambda_(1n)>|^2 = < lambda_(1m2)| lambda_(1n)">< " lambda_(1m2)| lambda_(1n)>^**` 

j'obtiens :

`color(blue) (Pr(sigma_n=+1))= 1 + 2cos^2(theta_2/2)sin^2(theta_2/2) (cos(phi_1 - phi_2)-1)`

qui n'est pas très parlant, et dépend donc aussi de l'angle constant de départ `theta_2` .

Si ces résultats sont corrects, on peut en conclure que le résultat annoncé page 88 du livre pour la probabilité n'est valable que pour le déplacement de l'appareil `ccA` le long d'un méridien avec l'angle `phi` constant .