Section 3.8 : démonstration de ` "<"sigma_x">"^2 + "<"sigma_y">"^2 + "<"sigma_z">"^2 = 1 ` .

Aller vers les parties a),  b),

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Dans la Figure A issue du livre section 1.3, le spin ` ""sigma""` a été préparé le long de ` hat m ` et mesuré le long de ` hat n ` , on trouve pour la moyenne des mesures :

` "<"sigma">" = cos theta = 1xx1 cos theta = "|"n"|" "|"m"|" cos theta = hat n * hat m `

et l'on peut dire que ` "<"sigma">" ` est la projection du vecteur unitaire ` hat m ` sur le vecteur unitaire ` hat n ` .

On va donc obtenir de la même manière dans la Figure B :

` "<"sigma_x">" = cos gamma `   sachant que ` "|"OM"|" = 1 `

et donc aussi :

` "<"sigma_y">" = cos beta `

` "<"sigma_z">" = cos theta `

où ` hat n ` est équivalent au vecteur ` vec(OM) ` , le spin ayant été préparé le long de Oz .

Ensuite, en prenant le tétraèdre OCAM dans la Figure B, on a :

` OA = OM sin theta `

` OC = AD = OA sin phi = OM sin theta sin phi `

et aussi :

` OC = OM cos beta `

donc :

`color(blue) (cos beta = sin theta sin phi )`

De la même manière, avec le tétraèdre OADM, on a :

` OA = OM sin theta `

` OD = OA cos phi = OM sin theta cos phi `

et aussi :

` OD = OM cos gamma `

donc :

`color(blue) (cos gamma = sin theta cos phi )`

Ce qui donne pour la somme des carrés :

`color(blue) (cos^2 theta + cos^2 beta + cos^2 gamma) = cos^2 theta + sin^2 theta sin^2 phi + sin^2 theta cos^2 phi `

` = cos^2 theta + sin^2 theta (sin^2 phi + cos^2 phi) `

` = cos^2 theta + sin^2 theta `

`color(blue) ( = 1 )`

ce que l'on voulait démontrer.

On part de :

` "|"A">" = alpha_u "|"u">" + alpha_d "|"d">" `

sans oublier que :   ` "|"u">" = ((1),(0)) ` ,  ` "|"d">" = ((0),(1)) ` , ` sigma_x = ((0,1),(1,0)) ` , ` sigma_y = ((0,-i),(i,0)) ` et ` sigma_z = ((1,0),(0,-1)) `

On a :

` sigma_x "|"A">" = alpha_u sigma_x "|"u">" + alpha_d sigma_x "|"d">" `

` = alpha_u "|"d">" + alpha_d "|"u">" `

et :

`color(blue) ("<" sigma_x ">") = "<"A | sigma_x |A">" `

` = "<"A"|" (alpha_u "|"d">" + alpha_d "|"u">") `

` = (alpha_u^** "<"u"|" + alpha_d^** "<"d"|") (alpha_u "|"d">" + alpha_d "|"u">") `

`color(blue) ( = alpha_u^**alpha_d + alpha_d^**alpha_u )`

avec :

`color(blue) ("<" sigma_x ">"^2) = color(chocolate) ((alpha_u^**alpha_d)^2) + color(#6ace3b) (2 alpha_u^**alpha_d alpha_d^**alpha_u) + color(deeppink) ((alpha_d^**alpha_u)^2) `  les termes de même couleur vont ensuite s'annuler lorsqu'on fera la somme

des carrés des Espérances mathématiques.

De même :

` sigma_y "|"A">" = alpha_u sigma_y "|"u">" + alpha_d sigma_y "|"d">" `

` = i alpha_u "|"d">" - i alpha_d "|"u">" `

et :

`color(blue) ( "<" sigma_y ">") = "<"A | sigma_y |A">" `

` = "<"A"|" (i alpha_u "|"d">" - i alpha_d "|"u">") `

` = (alpha_u^** "<"u"|" + alpha_d^** "<"d"|") (i alpha_u "|"d">" - i alpha_d "|"u">") `

` = -i alpha_u^**alpha_d + i alpha_d^**alpha_u `

`color(blue) ( = i (-alpha_u^**alpha_d + alpha_d^**alpha_u) )`

avec :

`color(blue) ("<" sigma_y ">"^2) = - (color(chocolate) ((alpha_u^**alpha_d)^2) - 2 alpha_u^**alpha_d alpha_d^**alpha_u + color(deeppink)((alpha_d^**alpha_u)^2) ) `

ainsi que :

` sigma_z "|"A">" = alpha_u sigma_z "|"u">" + alpha_d sigma_z "|"d">" `

` = alpha_u "|"u">" - alpha_d "|"d">" `

et :

`color(blue) ( "<" sigma_z ">" )= "<"A | sigma_z |A">" `

` = "<"A"|" (alpha_u "|"u">" - alpha_d "|"d">") `

` = (alpha_u^** "<"u"|" + alpha_d^** "<"d"|") (alpha_u "|"u">" - alpha_d "|"d">") `

`color(blue) ( = alpha_u^**alpha_u - alpha_d^**alpha_d )`

avec :

`color(blue) ("<" sigma_z ">"^2) = (alpha_u^**alpha_u)^2 - color(#6ace3b) (2 alpha_u^**alpha_u alpha_d^**alpha_d) + (alpha_d^**alpha_d)^2) `

Maintenant pour calculer  ` "<"sigma_x">"^2 + "<"sigma_y">"^2 + "<"sigma_z">"^2 ` ,

on fait la somme des trois termes calculés précedemment, en simplifiant ceux de même couleur qui s'annulent.

Ce qui donne au final :

` "<"sigma_x">"^2 + "<"sigma_y">"^2 + "<"sigma_z">"^2 = color(brown) (2 alpha_u^**alpha_d alpha_d^**alpha_u + (alpha_u^**alpha_u)^2 + (alpha_d^**alpha_d)^2 )`

Mais dans la partie à droite du signe "=", on reconnait la condition de normalisation de `"|"A">"` , à savoir :

`color(brown) ( 2 alpha_u^**alpha_d alpha_d^**alpha_u + (alpha_u^**alpha_u)^2 + (alpha_d^**alpha_d)^2 ) = color(brown) ( (alpha_u^**alpha_u + alpha_d^**alpha_d)^2) = 1^2 = 1`

donc :

`color(blue) ( "<"sigma_x">"^2 + "<"sigma_y">"^2 + "<"sigma_z">"^2 = 1 )`

ce que l'on voulait démontrer et ce, quel que soit `"|"A">"` un système simple. Mais cette démonstration n'est pas valable pour un système combiné `"|"AB">"`.