Chaque élément de la matrice (7.2), par exemple ` <"u"u|sigma_z I |"u"u> `  pour le premier élément, va donc maintenant être de la forme  ` <"u"u|sigma_z tau_x |"u"u>` ,

soit :

` [(<"u"u|sigma_z tau_x |"u"u>, <"u"u|sigma_z tau_x |"u"d>,<"u"u|sigma_z tau_x |du>,<"u"u|sigma_z tau_x |dd> ), (<ud|sigma_z tau_x |"u"u>, <ud|sigma_z tau_x |"u"d>, <ud|sigma_z tau_x |du>, <ud|sigma_z tau_x |dd> ), (<du|sigma_z tau_x |"u"u>, <du|sigma_z tau_x |"u"d>, <du|sigma_z tau_x |du>, <du|sigma_z tau_x |dd> ), (<dd|sigma_z tau_x |"u"u>, <dd|sigma_z tau_x |"u"d>, <dd|sigma_z tau_x |du>, <dd|sigma_z tau_x |dd> )]`

ou plutôt plus précisément de la forme (toujours pour le premier élément) :

`<"u"u|sigma_z tau_x |"u"u> = <"u"u|ubrace ( color (blue) (sigma_z otimes tau_x |"u"u>)) ` ,

que l'on va calculer en deux étapes en commençant par la partie sous accolade.

1ère étape :

Cette partie ` sigma_z otimes tau_x |"u"u> ` doit elle-même être comprise comme :

`color (blue) (sigma_z otimes tau_x |"u"u>) = (sigma_z otimes tau_x) ( |u} otimes |u> ) ` comme indiqué page 165 equation (6.10)

chaque élément des produits tensoriels travaillant avec son homologue comme on a commencé à le voir lors de l'exercice 7.1 précédent :

`(sigma_z otimes tau_x) ( |u} otimes |u> ) = ( color (brown)(sigma_z) otimes color (#6ace3b) (tau_x)) ( color (brown)( |u"}") otimes color (#6ace3b)( |u>) )`

soit :

` (color (brown)(sigma_z |u"}")) otimes (color (#6ace3b) (tau_x |u>) ) = color (brown)(|u"}" ) otimes color (#6ace3b)(|d>) ) = color (blue)( |ud>) `  en utilisant les résultats obtenus au paragraphe 6.8 page 163 sur les observables d'Alice et Bob, toujours pour terminer la première partie de calcul de cet élément.

On a donc :

`color (blue) (sigma_z otimes tau_x |"u"u> = |ud> )`

De la même manière, on va effectuer le produit tensoriel ` sigma_z otimes tau_x `  pour les trois autres vecteurs ` |ud>, |du>, |dd> `,

soit :

`color (blue) (sigma_z otimes tau_x |ud> = |"u"u> )`   en utilisant ces mêmes résultats du paragraphe 6.8 .

`color (blue) (sigma_z otimes tau_x |du> = -|dd> )`

`color (blue) (sigma_z otimes tau_x |dd> = -|du> )`

Les éléments de la matrice sont maintenant les suivants :

` [(<"u"u|ud>, <"u"u|"u"u>, - <"u"u|dd>, - <"u"u|du> ), (<ud|ud>, <ud|"u"u>, - <ud|dd>, - <ud|du> ), (<du|ud>, <du|"u"u>, - <du|dd>, - <du|du> ), (<dd|ud>, <dd|"u"u>, - <dd|dd>, - <dd|du> )] `

2ème étape :

On effectue les produits scalaires pour arriver aux éléments définitifs de la matrice :

` [ (0,1,0,0), (1,0,0,0), (0,0,0,-1), (0,0,-1,0) ] `

en se souvenant que la règle du produit scalaire pour les états combinés est la même que pour les états simples :

- si les états des deux membres du produit sont les mêmes, le produit scalaire vaut 1 sinon il vaut zéro.

` < ab|a^'b^' > = delta_(aa^') delta_("b"b^') `  suivant la notation de la section 6.3 page 156 .

Vérification :

`color (blue) ( [ (0,1,0,0), (1,0,0,0), (0,0,0,-1), (0,0,-1,0) ]) = [ (0,1,vdots, 0,0), (1,0,vdots,0,0), (ldots, ldots, ldots, ldots, ldots), (0,0,vdots,0,-1), (0,0,vdots,-1,0) ] `

`= [ (1,0), (0, -1)] otimes [ (0,1), (1, 0)] color (blue) ( = [bbsigma_z] otimes [bbtau_x] )` ce à quoi l'on voulait arriver.