Exercice 3.3
Partie a ) Valeurs propres
On a : `[sigma_n]=[(costheta,sintheta),(sintheta,-costheta)]`
Avec la matrice caractéristique :
`[sigma_n]_c=[(costheta - lambda,sintheta),(sintheta,-costheta-lambda)]`
et son déterminant :
Det = `-(cos theta - lambda)(cos theta + lambda)-sin^2 theta`
= `-(cos^2 theta - lambda^2)-sin^2 theta`
= `lambda^2-(cos^2 theta + sin^2 theta) = lambda^2 - 1`
Det = 0 donne `color(blue)(lambda=+-1)` qui sont les deux valeurs propres cherchées de `[sigma_n]`.
Partie b ) Vecteurs propres
On doit donc résoudre :
`[(cos theta-lambda,sin theta),(sin theta,-cos theta-lambda)][(z_1),(z_2)]=0` dans le cas général.
`ul (lambda=+1)` :
Avec le conseil indiquant `z_1=cos alpha` réel, `z_2=sin alpha` réel aussi et `lambda=+1` comme 1ère valeur propre, on obtient :
`[(cos theta-1,sin theta),(sin theta,-cos theta-1)][(cos alpha),(sin alpha)]=0`
soit en prenant la 1ère ligne :
` (cos theta-1)cos alpha + sin theta sin alpha = 0`
`cos theta cos alpha-cos alpha+sin theta sin alpha =0`
`cos theta cos alpha+sin theta sin alpha-cos alpha =0`
et en appliquant la relation : `cos a cos b + sin a sin b=cos(a-b)` on obtient :
`color(blue)(cos(theta-alpha)=cos alpha)` que l'on doit résoudre.
Pour cette équation trigonométrique, on a comme solutions :
a) `theta-alpha=alpha` b) `theta-alpha=-alpha`
`2alpha=theta` `0xxalpha=theta`
`alpha=theta/2` donc pas de solution;
On a donc la solution a) : `color(blue)(alpha=theta/2)`
ce qui donne comme composantes du vecteur propre `cos alpha=cos (theta/2)` et `sin alpha=sin (theta/2)`
et donc le vecteur propre `color(blue)("|"lambda_1 > ((cos (theta/2)),(sin (theta/2))))` pour la valeur propre `lambda=+1`
ce qui est la solution recherchée.
`ul (lambda=-1)` :
De même, toujours avec `z_1=cos alpha` réel, `z_2=sin alpha` réel aussi et `lambda=-1` comme 2ème valeur propre, on obtient :
`[(cos theta+1,sin theta),(sin theta,-cos theta+1)][(cos alpha),(sin alpha)]=0`
soit en prenant la 1ère ligne :
` (cos theta+1)cos alpha + sin theta sin alpha = 0`
`cos theta cos alpha+cos alpha+sin theta sin alpha =0`
`cos theta cos alpha+sin theta sin alpha+cos alpha =0` (1)
et en appliquant la relation : `cos a cos b + sin a sin b=cos(a-b)` on obtient :
`color(blue)(cos(theta-alpha)=-cos alpha)` que l'on doit résoudre.
Pour cette équation trigonométrique, on a comme solutions :
a) `theta-alpha=pi+alpha` b) `theta-alpha=pi-alpha`
`2alpha=theta-pi` `0xxalpha=pi-theta`
`alpha=theta/2 - pi/2` donc pas de solution;
On a donc la solution a) : `color(blue)(alpha=theta/2 - pi/2)`
ce qui donne comme composantes du vecteur propre :
`cos alpha=cos (theta/2 - pi/2)=sin(theta/2)`
`sin alpha=sin (theta/2 - pi/2)=-cos(theta/2)`
et donc le vecteur propre `color(blue)("|"lambda_2 >((sin (theta/2)),(-cos (theta/2))))` pour la valeur propre `lambda=-1`
ce qui est la solution recherchée.
Remarque
Si l'on fait `color(brown)(cos(alpha-theta)=-cos alpha` au lieu de `cos(theta-alpha)` puisqu'on peut aussi écrire (1) `cos alpha cos theta + sin alpha sin theta + cos alpha =0` .
on va obtenir comme solutions :
a) `alpha-theta=pi-alpha` b) `alpha-theta=pi+alpha`
`2alpha=pi+theta` `0xxalpha=pi+theta`
`alpha=pi/2 + theta/2 ` donc pas de solution;
On a donc la solution a) : `color(brown)(alpha=pi/2 + theta/2 )`
ce qui donne comme composantes du vecteur propre :
`cos alpha=cos (theta/2 + pi/2)=-sin(theta/2)`
`sin alpha=sin (theta/2 + pi/2)=cos(theta/2)`
et donc le vecteur propre `color(brown)("|"lambda_2^' >((-sin (theta/2)),(cos (theta/2))))` pour la valeur propre `lambda=-1`
ce qui est aussi une solution puisque `"|"lambda_2^' > = -"|"lambda_2 > = k"|"lambda_2 > ;k=-1`.
et que l'on est dans un système linéaire.
Partie c ) Pourquoi des composantes réelles ?
Je n'ai pas de démonstration valable pour le moment.
Merci de m'en proposer une.
Il y en a bien une dans le site the uncertain biscuit, mais elle ne me plait qu'à moitié puisque la seule raison invoquée est que le vecteur est normalisé.
Et, de toute manière, le vecteur sera toujours normalisé puisque la norme représente la somme des probabilités d'apparition de chaque mesure (valeurs propres), et que cette somme est égale à 1. Même avec des composantes complexes (voir l'exercice 3.4).
Partie d ) Pourquoi un seul paramètre "alpha" ?
Si l'on se réfère au plan xOz de départ qui contient l'opérateur-vecteur-3D, donc à deux dimensions, un seul paramètre angulaire suffit pour se positionner dans le plan.
Par contre, pourquoi ce seul paramètre "alpha" permet-il d'exprimer les deux vecteurs propres associés dans leur propre espace ?
Je n'ai pas d'explication claire à proposer.
Là aussi, une explication complémentaire serait utile. Merci d'avance.
Partie e ) Vecteur de norme 1
On a effectivement pour le vecteur `"|"lambda_1>` :
`< lambda_1"|"lambda_1> = cos(theta/2)cos(theta/2) + sin(theta/2)sin(theta/2) = cos^2(theta/2)+sin^2(theta/2)`
`=1`
Et pour le vecteur `"|"lambda_2>` :
`< lambda_2"|"lambda_2> = sin(theta/2)sin(theta/2) + (-cos(theta/2))(-cos(theta/2)) = sin^2(theta/2)+cos^2(theta/2)`
`=1`
cette propriété étant notamment utile pour calculer correctement les probabilités d'occurence des différentes mesures, comme on le verra dans l'exercice suivant.