Informations complémentaires sur la Fonction (Distribution) de Dirac ` delta(x) ` .

Les informations très succintes de ce complément ont pour objectif de mieux visualiser l'écriture des deux résultats du Complément 8.2 .

1) Présentation et définition .

Initialement Dirac voulait représenter une charge unité ponctuelle, donc égale à 1, mais concentrée à l'origine.

Et suivant Dirac, on peut songer à représenter cette charge unité ponctuelle par une "fonction"   ` delta(x) `   qui vaudrait :

` delta(x) = {(0, x != 0), (+oo, x = 0) :}`

et telle que :

` int_(-oo)^(+oo) delta(x) dx = 1 `

Une telle fonction est cependant mal définie car l'intégrale d'une fonction presque partout nulle est nulle.

Et cela conduira à la théorie des Distributions de Laurent Schwarz.

2) Utilisation .

L'opération fondamentale à laquelle Dirac voulait soumettre   ` delta(x) `   est l'évaluation de l'intégrale :

` I = int_(-oo)^(+oo) delta(x)  f(x) dx `

où `  f(x)   `  est une fonction continue quelconque.

Cette intégrale peut-être évaluée par l'argument suivant :

- puisque   ` delta(x) `  est nulle pour   ` x != 0 `  , les bornes d'intégration peuvent être remplacées par   ` - epsilon `  et   ` + epsilon ` 

où   ` epsilon `  est un nombre positif petit. De plus, puisque que   ` f(x) `  est continue en   ` x = 0 `  , ses valeurs dans l'intervalle   ` - epsilon, + epsilon ` 

ne diffèrent pas beaucoup de   ` f(0) `  . On écrit donc approximativement, puisque   ` f(0) ≈ "Cte" `  :

` int_(-oo)^(+oo) delta(x) f(x) dx = int_(-epsilon)^(+epsilon) delta(x) f(x) dx ≈ f(0) int_(-epsilon)^(+epsilon) delta(x) dx ≈ f(0) int_(-oo)^(+oo) delta(x) dx`    vu la définition de   ` delta(x) `  .

L'approximation s'améliore au fur et à mesure que   ` epsilon `  s'approche de   ` 0 `  .

A la limite   ` epsilon -> 0`  , compte-tenu de la première intégrale, on a exactement l'égalité :

` int_(-oo)^(+oo) delta(x) f(x) dx = f(0) `

3) Passage à une représentation en intégrale de Fourier (démonstration donnée par ChatGPT).

Remarque :

Je n'ai pas donné ici d'autres détails sur la transformée de Fourier car cet enchainement est très simple.

C'est cette expression :

` color(blue) (delta(x) = 1/(2 pi)int_(-oo)^(+oo) e^(ikx) dk )`

qui est utilisée dans le livre de Charles ANTOINE (Introduction à la Physique Quantique - Dunod) et citée dans le Complément 8.2 .

4) Changement d'échelle .

On cherche ici à démontrer la deuxième relation utilisée, à savoir :

` delta(ax) = 1/(abs(a)) delta(x)` ,       ` a != 0 `

On pose   `ax = u `  ,   `x = u/a ` ,   `dx = 1/a du `  :

` int_(-oo)^(+oo) delta(ax) f(x) dx = int_(-oo)^(+oo) delta(u) f(u/a) 1/a du `

` = 1/a f(0) = 1/a int_(-oo)^(+oo) delta(x) f(x) dx `

D'où :

` int_(-oo)^(+oo) fx ( delta(ax) - 1/a delta(x) ) dx = 0 `

et puisque   `f(x) `  est arbitraire :

` delta(ax) - 1/a delta(x) = 0 `

` delta(ax) = 1/a delta(x) `

Remarque :

Ce résultat est ici valable quel que soit le signe de   `a `  , mais à priori comme cette relation représente un facteur d'échelle,

celui-ci devrait toujours être positif.

Je n'ai pas trouvé dans les démonstrations d'autres raisons de mettre   `abs(a) `  .

Merci de me corriger si c'est une ERREUR.

Nous avons donc maintenant la démonstration de la 2ème relation utilisée dans le Complément 8.2 .

` color(blue) (delta(ax) = 1/(abs(a)) delta(x) )` ,       ` a != 0 `