Remarque préalable : Représentation du produit extérieur `|psi "><" psi|` .

Tout vecteur d'état se représente sous la forme d'un vecteur "ket" :

` color (brown) (|psi>) = alpha_psi |u> + beta_psi |d> color (brown)( = ( (alpha_psi), (beta_psi) ) ) ` dans la base ` ( (|u>), (|d>) ) `

avec son vecteur "bra" dual :

` color (brown) ( < psi|) = alpha_psi^** < u| + beta_psi^** < d | color (brown) ( = ( alpha_psi^**   beta_psi^** ) )` toujours dans la base ` ( (|u>), (|d>) ) `

On peut donc écrire :

` color(brown) (|psi "><" psi| = ( (alpha_psi), (beta_psi) )( alpha_psi^**   beta_psi^** ) )`

ce qui est aussi une multiplication de matrices qui nous donne :

`color(blue)( |psi "><" psi| = ( (alpha_psi alpha_psi^**, alpha_psi beta_psi^**) ,( beta_psi alpha_psi^** , beta_psi beta_psi^** )) ) `

Comme ensuite nous allons utiliser la matrice de densité ` [ bbrho ] ` de formule :

` color (brown) ( [ bbrho ] = |psi "><" psi| )`

nous avons la représentation pour un vecteur d'état simple :

`color (blue) ( [ bbrho ] = ( (alpha_psi alpha_psi^**, alpha_psi beta_psi^**) ,( beta_psi alpha_psi^** , beta_psi beta_psi^** )) ) = ( ( psi(u) psi^**(u), psi(u)psi^**(d) ), ( psi(d) psi^**(u), psi(d)psi^**(d) ) ) `

qui complète visuellement la formule générique compactée :

` color(brown) ( rho_(aa^') = psi^** (a^')psi(a) ) `

Revenons maintenant à notre exercice.

Vu notre remarque préalable, nous avons :

` [bbrho] = [ (psi(u) psi^**(u), psi(u)psi^**(d) ), ( psi(d) psi^**(u), psi(d)psi^**(d) ) ] = [ (rho_(u"u"), rho_(ud) ), (rho_(du), rho_(dd) ) ] `

Partie a) Vérifications :

a_1 :  la matrice est hermitienne :

- les valeurs diagonales sont réelles puisque ` rho_(aa) = psi^**(a) psi(a) = |psi(a)|^2 ` est réel, avec ` a in {u, d} `

- les valeurs de l'autre diagonale sont conjuguées puisque :

` color (brown) ( rho_(ud) ) = psi(u)psi^**(d) `

` color (brown) ( rho_(ud)^** ) = ( psi(u)psi^**(d) )^** = psi^**(u)(psi^**)^**(d) = psi^**(u)psi(d) `

` = psi(d)psi^**(u) color (brown) ( = rho_(du) ) `

a_2 : la trace est égale à 1 puisque :

` Tr(rho) = psi^**(u) psi(u) + psi^**(d) psi(d) = < psi|psi > = 1 ,  |psi > ` étant unitaire .

Partie b) calcul de ` [bbrho] ` :

Avec les composantes chacune égale à ` 1/sqrt(2) `, on a :

` psi(u) = psi^**(u) = 1/sqrt(2) ` puisque la composante est réelle

` psi(d) = psi^**(d) = 1/sqrt(2) ` puisque la composante est réelle aussi

ce qui donne pour la matrice :

` color (blue) ( [bbrho] ) = [ (1/sqrt(2)1/sqrt(2), 1/sqrt(2)1/sqrt(2)), (1/sqrt(2)1/sqrt(2), 1/sqrt(2)1/sqrt(2)) ] color(blue) ( = [ (1/2, 1/2), (1/2, 1/2) ] )`

Et on a bien ` Tr[bbrho] = 1/2 + 1/2 = 1 `

Partie c) calcul de ` [bbrho] ` avec d'autres états :

Pour ces état qui ont la forme habituelle

` |psi> = alpha_psi |u> + beta_psi |d> `

on a la condition :

` alpha_(psi) alpha_(psi)^** + beta_(psi) beta_(psi)^** = 1 `  puisque ` |psi> ` est unitaire (la somme des probabilités d'apparition de chacun des états est égale à 1).

Chaque composante ` alpha_(psi), beta_(psi) `  étant complexe, est de la forme :

` z = a + ib `

avec la relation :

` z z^** = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2    z^** = a - ib `   étant son conjugué.

De même ` z z^** = alpha_(psi) alpha_(psi)^** `  par exemple, représente la probabilité d'apparition du spin dans l'état ` |u> ` .

Dans le cas précédent, on a :

` alpha_(psi) alpha_(psi)^** + beta_(psi) beta_(psi)^** = 1/2 + 1/2 = 1 `

avec :

` alpha_(psi) = beta_(psi) = sqrt(alpha_(psi) alpha_(psi)^**) = sqrt(beta_(psi) beta_(psi)^**) = sqrt(1/2) = 1/sqrt(2) `

ce qui correspond à :

` color(brown) ( alpha_(psi) = beta_(psi) = z = a + ib = 1/sqrt(2) + 0 i ) `   , les composantes étant donc réelles toutes les deux.

- - - - - - - - - - - -

Prenons maintenant des composantes imaginaires, avec des probabilités identiques :

-   `color(blue) ( alpha_(psi) alpha_(psi)^** = 1/2 )`   mais avec   ` alpha_(psi) = a_1 + i b_1 ,   color(blue) (a_1 = 1/2 )`

cela donne :

` a_1^2 + b_1^2 = 1/2 `  donc   ` b_1^2 = 1/2 - a_1^2 = 1/2 - 1/4 = 1/4`  et   `color(blue) ( b_1 = +-sqrt(1/4)= +-1/2) `

Pour ` b_1 = 1/2 ` on a   ` color(blue) (alpha_(psi) = 1/2 + i/2 )`

-   `color(green) ( beta_(psi) beta_(psi)^** = 1/2 )`   mais avec   ` beta_(psi) = a_2 + i b_2 ,   color(green) (a_2 = 0 )`

cela donne :

` a_2^2 + b_2^2 = 1/2 `  donc   ` b_2^2 = 1/2 - a_1^2 = 1/2 - 0 = 1/2`  et   `color(green) ( b_2 = +-1/sqrt 2 ) `

Pour ` b_2 = -1/sqrt 2 ` on a   ` color(green) (beta_(psi) = - i/sqrt(2) )`

le vecteur d'état est maintenant :  `color(blue) ( "|"psi_2> = (1 + i)/2 "|"u> - i/sqrt(2)|d> )`

Les composants de la matrice ` [bbrho] `  deviennent :

` alpha_(psi_2) = (1 + i)/2    alpha_(psi_2)^** = (1 - i)/2`

` beta_(psi_2) = - i/sqrt(2)    beta_(psi_2)^** = + i/sqrt(2)`

et la matrice ` [bbrho] ` :

` color(blue) ( [bbrho_2] ) = [ (1/2, (1 + i)/2 (i/sqrt 2)), ( (- i/sqrt 2)(1 - i)/2, 1/2) ] `

` color(blue) ( = [ (1/2, -(1-i)/(2 sqrt 2) ), ( - (1+i)/(2 sqrt 2), 1/2) ] ) `  après avoir effectué les calculs.

Avec   ` Tr[bbrho_2] = 1/2 + 1/2 = 1 `  comme attendu et ` [ bbrho_2 ] `   ayant la forme hermitienne.

Partie d) Vérification de ` [bbrho] ` comme opérateur de projection :

On doit donc avoir la relation suivante vérifiée :

` color(brown) ( [bbrho]"|"psi> = "|"psi> ) `

d_1 :   pour ` "|"psi_1> = 1/sqrt 2 "|"u> + 1/sqrt 2 "|"d> ` avec   ` [bbrho_1] = [ (1/2, 1/2), (1/2, 1/2) ] `

ce qui donne :

` color(blue) ( [bbrho_1] "|"psi_1> ) = [ (1/2, 1/2), (1/2, 1/2) ] ( (1/sqrt 2), (1/sqrt 2) ) `

` = [ (1/2 1/sqrt 2 + 1/2 1/sqrt 2), (1/2 1/sqrt 2 + 1/2 1/sqrt 2) ] = ( (1/sqrt 2), (1/sqrt 2) ) `

` color(blue) ( = "|"psi_1> ) `  ce qu'on voulait vérifier.

d_2 :   pour   ` color(green) ( "|"psi_2> = (1 + i)/ 2 "|"u> - i/sqrt 2 "|"d> ) ` avec   ` [bbrho_2] = [ (1/2, -(1-i)/(2 sqrt 2) ), ( - (1+i)/(2 sqrt 2), 1/2) ] `

ce qui donne :

` color(blue) ( [bbrho_2] "|"psi_2> ) = [ (1/2, -(1-i)/(2 sqrt 2) ), ( - (1+i)/(2 sqrt 2), 1/2) ] ( ((1 + i)/ 2), (-i/sqrt 2) ) `

` = [ ( 1/2 (1+i)/2 + (1-i)/2 i/sqrt 2), ( -(1+i)/2 (1+i)/2 - 1/2 i/sqrt 2) ] `

Comme   ` (1-i)i = i-i^2 = i+1 `  et que   ` (1+i)(1+i) = 1 + 2i -1 = 2i `

` color(blue) ( [bbrho_2] "|"psi_2> ) = [ ( 1/4(1+i) + 1/(2sqrt 2) (1+i) ), ( - (2i)/4 - i/(2sqrt 2) ) ] = [ ( (1+i)(1/4 + 1/(2sqrt 2)) ), ( - i(2 sqrt 2 + 2)/(4 sqrt 2) ) ] `

` = [ ( (sqrt 2 + 2)/(4 sqrt 2) (1+i) ), ( - (i(sqrt 2 + 1)/(2 sqrt 2) ) ) ] `

maintenant on supprime les ` sqrt 2 `   au dénominateur :

` color(blue) ( [bbrho_2] "|"psi_2> ) = [ ( (sqrt 2 + 1)/4 (1+i) ), ( - (sqrt 2 + 2)/4 i) ] `     mais cela semble différent de notre   ` color(green) ( "|"psi_2> = ( ((1 + i)/ 2), ( - i/sqrt 2) ) `

Examinons cependant le rapport de chaque composante analogue :

` color(chocolate) ( (rho_2 (alpha_2)) / alpha_2 ) = ( (1 + sqrt 2)/4 (1 + i)) / ( (1 + i)/2 ) = color(chocolate) ( ( 1 + sqrt 2 )/2 )`    (on simplifie par ` (1 + i) `  et on multiplie le numérateur par `2` )

et :

` color(chocolate) ( (rho_2 (beta_2)) / beta_2 ) = ( - (2 + sqrt 2)/4 i) / ( - i/sqrt 2) = (2 + sqrt 2)/4 sqrt 2 = (2 sqrt 2 + 2)/4 `  (on simplifie par "` i `"  et on multiplie le numérateur par `sqrt 2` )

`color(chocolate) ( = (1 + sqrt 2)/2 )`

Les deux sont donc dans le même rapport et on peut écrire :

`color(blue) ( [bbrho_2] "|"psi_2> ) = (1 + sqrt 2)/2 "|"psi_2> `

` color(blue) ( = k "|"psi_2> )`  ` k in bbbR `  ce qui est cohérent dans un système linéaire et que l'on voulait vérifier.

On pourrait supposer plus généralement   ` k in bbbC `   (à vérifier).

Remarque :

Ce dernier exercice 'd_2' se déroule apparemment de manière satisfaisante, mais en réalité le résultat est FAUX.

Je l'ai laissé intentionnellement car je me suis fais leurrer par le rattrapage bienvenu du `\ color(blue)(k"|"psi_2 :) `  qui me plaisait bien.

Une meilleure vérification des calculs aurait donc été nécessaire.

Il y a en fait une erreur de calcul dans la 2ème ligne du premier produit matriciel. On aurait dû avoir :

` color(blue) ( [bbrho_2] "|"psi_2 :) ` ` =` ` [ (1/2, -(1-i)/(2 sqrt 2) ), ( - (1+i)/(2 sqrt 2), 1/2) ] ( ((1 + i)/ 2), (-i/sqrt 2) ) `

` =` ` [ ( 1/2 (1+i)/2 + (1-i)/(2 sqrt 2) i/sqrt 2), ( -(1+i)/(2 sqrt 2) (1+i)/2 - 1/2 i/sqrt 2) ]` ` =` ` [ ( (1+i + 1+i)/4 ), ( -(1+2i-1)/(4 sqrt 2) - i/( 2 sqrt 2) ) ]`

` =` ` [ ( (2+2i)/4 ), ( -(2i)/(4 sqrt 2) - (2i)/( 4 sqrt 2) ) ]` ` =` ` [ ( (1+i)/2 ), ( -(4i)/(4 sqrt 2) ) ] `

` color(blue) (= [ ( (1+i)/2 ), ( -(i)/(sqrt 2) ) ] )`  ce qui donne directement le résultat attendu.

Cette erreur m'a été signalée par S. Degeorges. Merci à lui.