L'équation (7.30) est la suivante :

` |psi_(AB)">" = alpha_u |u,b">" + alpha_d |d,b">" `   et donc bien un état-produit

puisqu'il vient de :

` |A">" = alpha_u |u">" + alpha_d "|"d">" `

et :

` |B"> = "|" b">" `

avec :

` color(blue) ( |psi_(AB)">" = |A">" otimes |B">" )`

Les composantes de la matrice de densité de A sont :

` rho_(aa^') = sum_b psi_(a^'b)^** psi_(ab)   a,a^' = {u, d},   b={b} `

ce qui donne :

` rho_(u""u) = psi_(ub)^** psi_(ub) =  alpha_u^** alpha_u `

` rho_(ud) = psi_(db)^** psi_(ub) =  alpha_d^** alpha_u `

` rho_(du) = psi_(ub)^** psi_(db) =  alpha_u^** alpha_d `

` rho_(dd) = psi_(db)^** psi_(db) =  alpha_d^** alpha_d `

et donc :

` color(blue) ( [bbrho_A]) = [ (alpha_u^** alpha_u, alpha_d^** alpha_u), (alpha_u^** alpha_d, alpha_d^** alpha_d) ] `

Les valeurs propres viennent du déterminant :

` color(blue) ( | bbrho_A - lambda bbI | ) = ( alpha_u^** alpha_u - lambda)(alpha_d^** alpha_d - lambda) - alpha_u^** alpha_d   alpha_d^** alpha_u `

` = lambda^2 - (alpha_u^** alpha_u + alpha_d^** alpha_d)lambda + cancel (alpha_u^**alpha_ualpha_d^**alpha_d) - cancel (alpha_u^**alpha_dalpha_d^**alpha_u) `

` color(blue) ( = lambda(lambda - 1) ) `  puisque   `alpha_u^** alpha_u + alpha_d^** alpha_d = 1`  ,

les valeurs propres étant :

` color(blue) ( lambda = 0 )`

` color(blue) ( lambda = 1 ) `   lorsque le déterminant ` | bbrho_A - lambda bbI | = 0 `

ce qui indique bien que le vecteur état-produit   `color (blue) ( |psi_(AB)">" = alpha_u |u,b">" + alpha_d |d,b">" ) `   est `color (blue) ("totalement non imbriqué")`   vu le théorème de la page 208 :

Quand le système composite est dans un état-produit, la matrice de densité d'Alice (ou de Bob) a une seule valeur propre non nulle,

et elle est égale à 1.