On a :  ` [bbI] = [(1,0),(0,1)]`   et :   `[bbtau_x] = [(0,1),(1,0)]`

et le produit  ` [bbI] otimes [bbtau_x] = [(0,1,vdots,0,0),(1,0,vdots,0,0),(ldots,ldots,ldots,ldots,ldots),(0,0,vdots,0,1),(0,0,vdots,1,0)] `   suivant la règle (7.6) de la page 181.

On reconnait la matrice ` [bbtau_x] `  dupliqué 4 fois, MAIS en ayant pour chacune des fois tous ses termes multipliés par le coefficient concerné `0` ou `1` de ` [bbI] `  .

C'est pour cela que l'on va avoir 2 fois la matrice ` [(0,1),(1,0)] `   ce qui correspond au coefficie "` 1 `" de ` [bbI] `,

et 2 fois la matrice ` [(0,0),(0,0)] `   ce qui correspond au coefficie "` 0 `" de ` [bbI] `.

Il est INDISPENSABLE de bien avoir visualisé ce mécanisme.

Appliquons maintenant cette matrice à chacun des vecteurs colonne ` |u"u">, |ud>, |du>, |dd> `.

a) Pour `|u"u">`  on obtient :

` ([bbI] otimes [bbtau_x])"|"color (brown)("u")u"> = [(0,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0)] [(1),(0),(0),(0)] = [(0),(1),(0),(0)] = | color (brown)(u)d>`

b) Pour `|ud>`  on obtient :

` ([bbI] otimes [bbtau_x])"|" color (brown) (u)d> = [(0,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0)] [(0),(1),(0),(0)] = [(1),(0),(0),(0)] = "|" color (brown)(u)"u">`

c) Pour `|du>`  on obtient :

` ([bbI] otimes [bbtau_x])"|" color (brown) (d)u> = [(0,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0)] [(0),(0),(1),(0)] = [(0),(0),(0),(1)] = "|" color (brown)(d)d>`

d) Pour `|dd>`  on obtient :

` ([bbI] otimes [bbtau_x])"|" color (brown)(d)d> = [(0,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0)] [(0),(0),(0),(1)] = [(0),(0),(1),(0)] = "|" color (brown)(d)u>`

La partie d'Alice (en brun) dans les vecteurs ` |u"u">, |ud>, |du>, |dd> `  n'a donc pas changé. Ce que l'on voulait vérifier.