Partie a) Energies possibles et vecteurs propres ?

Trouver les énergies du système revient à calculer les valeurs propres `lambda_i` du système :

`bbH "|"lambda_i">" = lambda_i"|"lambda_i">"`

avec :

`bbH = omega/2 vec(sigma)*vec(tau)   color(chocolate) ( (1) )`

Comme l'exercice 6.9 précédent nous a permis de déterminer les valeurs propres et les les vecteurs propres de ` vec(sigma)*vec(tau) ` , à savoir :

`vec(sigma)*vec(tau) "|"si"n"g">" = -3 "|"si"n"g">" `     le singulet   `color(chocolate) ( (2) )`

et :

`vec(sigma)*vec(tau) "|"T_i">"  = "|"T_i">",  i=1,2,3 `  le triplet   `color(chocolate) ( (3) )`

on peut écrire :

`omega/2 vec(sigma)*vec(tau) "|"si"n"g">" = -3 omega/2 "|"si"n"g">" `  en multipliant par ` omega/2 ` les deux termes de l'équation `color(chocolate) ( (2) )`

`omega/2 vec(sigma)*vec(tau) "|"T_i">"  = omega/2 "|"T_i">",  i=1,2,3 `  en multipliant par ` omega/2 ` les deux termes de l'équation `color(chocolate) ( (3) )`

donc :

`color(blue) (bbH "|"si"n"g">" = -3 omega/2 "|"si"n"g">" )`

`color(blue) (bbH "|"T_i">" = omega/2 "|"T_i">"),  i=1,2,3 `

Les énergies sont alors `color(blue) (E_1=-3 omega/2) ` et  `color(blue) (E_2 = E_3 = E_4 = +omega/2) `   (celle-ci trois fois puisqu'elle est dégénérée),

et les vecteurs propres `color(blue) ("|"si"n"g">", "|"T_1">", "|"T_2">", "|"T_3">") . `

Partie b) Etat à un moment quelconque dans l'avenir à partir d'un état initial ?

Pour trouver l'état du système à un instant quelconque dans l'avenir à partir d'un état de départ, nous allons suivre les étapes de la résolution de l'équation de Schrödinger dépendante du temps comme dans l'exercice 4.6 .

Nous avons déjà le hamiltonien :

`bbH = omega/2 vec(sigma)*vec(tau) `

ainsi que les énergies (les valeurs propres) :

` -3 omega/2 ` et ` +omega/2 ` (cette dernière trois fois puisqu'elle est dégénérée)

et aussi les vecteurs propres du hamiltonien qui constituent la base de vecteurs ` "|"E_j">" ` utilisés par la suite :

` "|"si"n"g">", "|"T_1">", "|"T_2">", "|"T_3">" `

ce qui correspond à la résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps (les trois premières étapes).

Ensuite il vient le calcul des coefficients initiaux  ` alpha_j(0)="<"E_j"|"Psi(0)">" ` ,

les différents états initiaux envisagés étant :

` Psi(0)="|"u"u"">" `

` Psi(0)="|"ud">" `

` Psi(0)="|"du">" `

` Psi(0)="|"dd">" `

ce qui donne pour  `color(blue) (Psi(0)="|"u"u"">" )` :

` alpha_(1,u"u")(0) = color(chocolate) ("<"s"i"ng"|") u"u" ">" = 1/sqrt2("<"ud"|"-"<"du"|")"|"u"u"">" `

` =1/sqrt2("<"ud"|"u"u"">" - "<"du"|"u"u"">" )= 0 + 0 `

`color(#6ace3b) (alpha_(1,u"u")(0) = 0)`

` alpha_(2,u"u")(0) = color(chocolate) ("<"T1"|") u"u" ">" = 1/sqrt2("<"ud"|" + "<"du"|")"|"u"u"">" `

` =1/sqrt2("<"ud"|"u"u"">" + "<"du"|"u"u"">" )= 0 + 0 `

`color(#6ace3b) (alpha_(2,u"u")(0) = 0)`

` alpha_(3,u"u")(0) = color(chocolate) ("<"T2"|") u"u"">" = 1/sqrt2("<"u"u""|" + "<"dd"|")"|"u"u"">" `

` =1/sqrt2("<"u"u""|"u"u"">" + "<"dd"|"u"u"">" )= 1/sqrt2(1 + 0) `

`color(#6ace3b) (alpha_(3,u"u")(0) = 1/sqrt2)`

` alpha_(4,u"u")(0) = color(chocolate) ("<"T3"|") u"u"">" = 1/sqrt2("<"u"u""|" - "<"dd"|")"|"u"u"">" `

` =1/sqrt2("<"u"u""|"u"u"">" - "<"dd"|"u"u"">" )= 1/sqrt2(1 + 0) `

`color(#6ace3b) (alpha_(4,u"u")(0) = 1/sqrt2)`

Maintenant exprimons ` "|"Psi(t)">" ` dans la base des vecteurs propres du hamiltonien, avec comme état initial ` "|"u"u" ">" ` , soit :

`color(blue) ("|"Psi(t)">"_(u"u")) = alpha_(1,"u"u)(t) "|"s"i"ng">" + alpha_(2,u"u")(t) "|"T1">" + alpha_(3,u"u")(t) "|"T2">" + alpha_(4,u"u")(t) "|"T3">" `

avec chaque ` alpha_(j,u"u")(t) = alpha_(j,u"u")(0) e^(-i/ℏE_jt `  c'est-à-dire pour chaque valeur propre ` E_j ` (chaque énergie), toujours pour l'état initial ` "|"u"u" ">" ` .

Pour `color(blue) ( j=1 )` :  `color(chocolate) (E_1=-3omega/2);`  ` alpha_(1,u"u")(t) = alpha_(1,u"u")(0) e^(-i/ℏ(-3omega/2)t) ;`  ` color(#6ace3b)(alpha_(1,u"u")(0) = 0)`

donc :    ` color(blue) (alpha_(1,u"u")(t) = 0 )`

Pour `color(blue) ( j=2 )` :  `color(chocolate) (E_2=+omega/2);`  ` alpha_(2,u"u")(t) = alpha_(2,u"u")(0) e^(-i/ℏ(omega/2)t) ;`  `color(#6ace3b) (alpha_(2,u"u")(0) = 0)`

donc :   ` color(blue) (alpha_(2,u"u")(t) = 0 )`

Pour `color(blue) ( j=3 )` :  `color(chocolate) (E_3=+omega/2);`  ` alpha_(3,u"u")(t) = alpha_(3,u"u")(0) e^(-i/ℏ(omega/2)t) ;`  `color(#6ace3b) (alpha_(3,u"u")(0) = 1/sqrt2)`

donc :   ` color(blue) (alpha_(3,u"u")(t) = 1/sqrt2 e^(-i/ℏ(omega/2)t) )`

Pour `color(blue) ( j=4 )` :  `color(chocolate) (E_4=+omega/2);`  ` alpha_(4,u"u")(t) = alpha_(4,u"u")(0) e^(-i/ℏ(omega/2)t) ;`  `color(#6ace3b) (alpha_(4,u"u")(0) = 1/sqrt2)`

donc :   `color(blue) (alpha_(4,u"u")(t) = 1/sqrt2 e^(-i/ℏ(omega/2)t) )`

ce qui donne en final l'état du système à un moment quelconque dans l'avenir en partant de l'état initial ` "|"u"u"">" ` :

`color(blue) ("|"Psi(t)">"_(u"u") = 1/sqrt2 e^(-i/ℏ(omega/2)t) ("|"T2">" + "|"T3">") )`

en se rappelant la notation importante

`color(blue) ("|"Psi(t)">"_(u"u")) = alpha_(psi_(u"u"),T2) "|"T2">" + alpha_(psi_(u"u"),T3) "|"T3">"`  les  ` alpha_(psi_(u"u"),Ti) in CC`

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De la même manière, on obtient pour  `color(blue) (Psi(0)="|"ud">" )` :

` alpha_(1,ud)(0) = color(chocolate) ("<"s"i"ng"|") ud ">" `

`color(#6ace3b) (alpha_(1,ud)(0) = 1/sqrt2)`

` alpha_(2,ud)(0) = color(chocolate) ("<"T1"|") ud ">" `

`color(#6ace3b) (alpha_(2,ud)(0) = 1/sqrt2)`

` alpha_(3,ud)(0) = color(chocolate) ("<"T2"|") ud ">" `

`color(#6ace3b) (alpha_(3,ud)(0) = 0)`

` alpha_(4,ud)(0) = color(chocolate) ("<"T3"|") ud ">" `

`color(#6ace3b) (alpha_(4,ud)(0) = 0)`

ce qui donne en final l'état du système à un moment quelconque dans l'avenir en partant de l'état initial ` "|"ud">" ` :

`color(blue) ("|"Psi(t)">"_(ud) = 1/sqrt2 e^(+i/ℏ(3omega/2)t) "|"s"i"ng">" + 1/sqrt2 e^(-i/ℏ(omega/2)t)"|"T1">" )`

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et pour  `color(blue) (Psi(0)="|"du">" )` :

` alpha_(1,du)(0) = color(chocolate) ("<"s"i"ng"|") du ">" `

`color(#6ace3b) (alpha_(1,du)(0) = -1/sqrt2)`

` alpha_(2,du)(0) = color(chocolate) ("<"T1"|") du ">" `

`color(#6ace3b) (alpha_(2,du)(0) = 1/sqrt2)`

` alpha_(3,du)(0) = color(chocolate) ("<"T2"|") du ">" `

`color(#6ace3b) (alpha_(3,du)(0) = 0)`

` alpha_(4,du)(0) = color(chocolate) ("<"T3"|") du ">" `

`color(#6ace3b) (alpha_(4,du)(0) = 0)`

ce qui donne en final l'état du système à un moment quelconque dans l'avenir en partant de l'état initial ` "|"du">" ` :

`color(blue) ("|"Psi(t)">"_(du) = -1/sqrt2 e^(+i/ℏ(3omega/2)t) "|"s"i"ng">" + 1/sqrt2 e^(-i/ℏ(omega/2)t)"|"T1">" )`

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et aussi pour  `color(blue) (Psi(0)="|"dd">" )` :

` alpha_(1,dd)(0) = color(chocolate) ("<"s"i"ng"|") dd ">" `

`color(#6ace3b) (alpha_(1,dd)(0) = 0)`

` alpha_(2,dd)(0) = color(chocolate) ("<"T1"|") dd ">" `

`color(#6ace3b) (alpha_(2,dd)(0) = 0)`

` alpha_(3,dd)(0) = color(chocolate) ("<"T2"|") dd ">" `

`color(#6ace3b) (alpha_(3,dd)(0) = 1/sqrt2)`

` alpha_(4,dd)(0) = color(chocolate) ("<"T3"|") dd ">" `

`color(#6ace3b) (alpha_(4,dd)(0) = -1/sqrt2)`

ce qui donne en final l'état du système à un moment quelconque dans l'avenir en partant de l'état initial ` "|"dd">" ` :

`color(blue) ("|"Psi(t)">"_(dd) = 1/sqrt2 e^(-i/ℏ(omega/2)t) ("|"T2">" - "|"T3">") )`

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REMARQUE IMPORTANTE

Comme le souligne le site Theuncertainbiscuit le hamiltonien ` bbH=omega/2 vec(sigma)*vec(tau) `  n'est pas cohérent dans son équation aux dimensions, voir Exercice 4.3.

Il doit s'écrire ` bbH=(ℏomega)/2 vec(sigma)*vec(tau) `

Les valeurs propres deviennent donc :

` E_1 = -3(ℏomega)/2 ` et ` E_(2,3,4) = +(ℏomega)/2 ` ,

et les états ` color(blue) ("|"Psi(t)">"_(u"u"),... ,"|"Psi(t)">"_(dd) ) ` doivent être réécrits

en remplaçant ` omega/2 ` par ` (ℏomega)/2 ` .