Exercice 1.2
- - - - - - - - - -
Le produit scalaire défini sur un vecteur ligne <B| = ` (beta_1^** beta_2^** . . . beta_n^**) ` et le vecteur colonne |A > = ` ((alpha_1),(alpha_2),(vdots),(alpha_n))`
est : < B|A > = ` beta_1^**alpha_1 + beta_2^**alpha_2 + . . . + beta_n^**alpha_n ` .
Les points à vérifier sont les suivants :
1 - L'axiome de linéarité numéro 1 est : <B| { |A> + |C> } = <B|A> + <B|C> (tel que défini page 30 ).
Avec un vecteur |C> = ` ((gamma_1),(gamma_2),(vdots),(gamma_n))`, on a :
< B| {|A > + |C >} = ` (beta_1^** beta_2^** . . . beta_n^**)((alpha_1+gamma_1),(alpha_2+gamma_2),(vdots),(alpha_n+gamma_n))`
< B| {|A > + |C >} = ` beta_1^**(alpha_1+gamma_1)+beta_2^**(alpha_2+gamma_2)+ . . . +beta_n^**(alpha_n+gamma_n)`
< B| {|A > + |C >} = ` (beta_1^**alpha_1+beta_2^**alpha_2+. . +beta_n^**alpha_n)+(beta_1^**gamma_1+beta_2^**gamma_2+. . +beta_n^**gamma_n)`
< B| {|A > + |C >} = < B|A> + < B|C> ce que l'on voulait démontrer.
2 - L'axiome de linéarité numéro 2 est : <B|zA> = z<B|A>; z complexe.
On a donc :
< B|zA> = ` (beta_1^** beta_2^** . . . beta_n^**)z((alpha_1),(alpha_2),(vdots),(alpha_n))`
< B|zA> = ` beta_1^**zalpha_1+beta_2^**zalpha_2+ . . . +beta_n^**zalpha_n`
< B|zA> = ` z(beta_1^**alpha_1+beta_2^**alpha_2+ . . . +beta_n^**alpha_n)`
< B|zA> = z < B|A> ce que l'on voulait démontrer.
3 - Le 3ème point à vérifier est que <A|B>* = <B|A> :
< A|B> = ` (alpha_1^** alpha_2^** . . . alpha_n^**)((beta_1),(beta_2),(vdots),(beta_n))`
< A|B> = ` alpha_1^** beta_1 + alpha_2^** beta_2 + . . . + alpha_n^** beta_n `
donc :
< A|B>* = ` (alpha_1^** beta_1 + alpha_2^** beta_2 + . . . + alpha_n^** beta_n)^** `
< A|B>* = ` (alpha_1^** beta_1)^** + (alpha_2^** beta_2)^** + . . . +(alpha_n^** beta_n)^**` [Voir Complément 1.1]
< A|B>* = ` alpha_1 beta_1^** + alpha_2 beta_2^** + . . . . +alpha_n beta_n^** ` [Voir Complément 1.2]
< A|B>* = ` beta_1^**alpha_1 + beta_2^**alpha_2 + . . . + beta_n^**alpha_n `
< A|B>* = < B|A> ce que l'on voulait démontrer.