Exercice 7.12
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Fiche état signalétique n°1
Fiche état signalétique n°1 - Etat-Produit :
Comme il n'y a pas d'états spécifiés dans l'exercice nous allons en choisir deux au hasard :
Prenons les états :
` "|"A> = 1/sqrt2(|u> + |d>) class{pl80 fo}{"avec l'unitarité vérifiée" 1/sqrt2 1/sqrt2 + 1/sqrt2 1/sqrt2 = 1/2 + 1/2 =1}`
` "|"B> = 1/2"|"u> + sqrt3/2|d> class{pl80 fo}{"avec l'unitarité vérifiée" 1/2 1/2 + sqrt3/2 sqrt3/2 = 1/4 + 3/4 = 1}`
pour former l'état-produit :
` "|"AB> = "|"A> otimes "|"B>`
` = 1/(2sqrt2) "|"u""u> + sqrt3/(2sqrt2) "|"ud> + 1/(2sqrt2) "|"du> + sqrt3/(2sqrt2) "|"dd> `
` color(deeppink) ("1-a)") ` L'objectif est maintenant de vérifier si à l'aide des matrices densité des s/système d'Alice et Bob nous allons retrouver pour chacun leur fonction d'onde, c'est à dire les vecteurs `"|"A>` et `"|"B>` initiaux.
La matrice densité du s/système d'Alice va s'écrire :
` color(blue) (rho_(A,u""u)) = psi_(u""u)^**psi_(u""u) + psi_(ud)^**psi_(ud)` conformément à la page 204.
` color(blue) (rho_(A,ud)) = psi_(du)^**psi_(u""u) + psi_(dd)^**psi_(ud) `
` color(blue) (rho_(A,du)) = psi_(u""u)^**psi_(du) + psi_(ud)^**psi_(dd) `
` color(blue) (rho_(A,dd)) = psi_(du)^**psi_(du) + psi_(dd)^**psi_(dd)`
ce qui donne avec les calculs pour notre état-produit :
` color(blue) (rho_(A,u""u)) = class{fo} {(1/(2sqrt2))^2 + (sqrt3 / (2sqrt2))^2 = 1/8 + 3/8 = 4/8 } = 1/2`
` color(blue) (rho_(A,ud)) = class{fo} {1/(2sqrt2)1/(2sqrt2) + sqrt3/ (2sqrt2)sqrt3/(2sqrt2) = 1/8 + 3/8 = 4/8 } = 1/2 `
` color(blue) (rho_(A,du)) = class{fo} {1/(2sqrt2)1/(2sqrt2) + sqrt3/ (2sqrt2)sqrt3/(2sqrt2) = 1/8 + 3/8 = 4/8 } = 1/2 `
` color(blue) (rho_(A,dd)) = class{fo} {(1/(2sqrt2))^2 + (sqrt3 / (2sqrt2))^2 = 1/8 + 3/8 = 4/8 } = 1/2`
` color (blue) ([bbrho_A] = [ (1/2, 1/2), (1/2, 1/2)]) `
et le déterminant :
` |bbrho_A - lambda bbI| = |( 1/2 - lambda, 1/2), (1/2 , 1/2 - lambda)| = (1/2 - lambda)^2 - 1/4`
` = -lambda +lambda^2 = lambda(lambda - 1) `
Avec `color(blue) ( |bbrho_A - lambda bbI| = 0 )` on trouve bien les valeurs propres annoncées `color(blue) ( lambda=1)` et `color(blue) ( lambda=0 )` .
Maintenant avec l'assertion ` "le vecteur propre de la valeur propre" lambda=1 "est la fonction d'onde du s/système d'Alice" `, on devrait pouvoir retrouver notre état ` "|"A> ` de départ .
Calculons ce vecteur propre. On a pour ` color(blue)(lambda=1) ` :
Rappel : pour calculer les vecteurs propres on utilise la relation
` [bbrho_s] vec v_p = lambda_p vec v_p ` ceci pour chaque valeur propre nécessaire.
donc :
` [bbrho]vec v_1 = [(1/2, 1/2), (1/2, 1/2)]((a), (b)) = ((a), (b)) ` pour `vec v_1 = ((a), (b)) `
d'où :
` 1/2 a + 1/2 b = a => 1/2 a = 1/2 b => a = b `
ce qui donne par exemple ` a=1, b=1 ` :
` vec v_1 = a "|"u> + b"|"d> = "|"u> + "|"d> `
` color(blue) ( hat v_1 = 1/sqrt2 "|"u> + 1 / sqrt2"|"d> )` pour respecter l'unitarité.
Ce ` hat v_1 ` est bien notre ` "|"A>` recherché en suivant `"l'assertion"` au-dessus .
Faisons alors le même calcul avec le s/système de Bob pour voir si nous retrouvons ` "|"B>` .
La matrice de densité ` [bbrho_B] ` de Bob est donnée par :
` color(chocolate) (rho_(B,u""u)) = psi_(u""u)^**psi_(u""u) + psi_(du)^**psi_(du)` toutes ces valeurs ayant été calculées dans l'exercice 7.8
` color(chocolate) (rho_(B,ud)) = psi_(ud)^**psi_(u""u) + psi_(dd)^**psi_(du) `
` color(chocolate) (rho_(B,du)) = psi_(u""u)^**psi_(ud) + psi_(du)^**psi_(dd) `
` color(chocolate) (rho_(B,dd)) = psi_(ud)^**psi_(ud) + psi_(dd)^**psi_(dd)`
ce qui donne les calculs pour notre état-produit en se rappelant que ` class{fo} { "|"AB> = 1/(2sqrt2) "|"u""u> + sqrt3/(2sqrt2) "|"ud> + 1/(2sqrt2) "|"du> + sqrt3/(2sqrt2) "|"dd> }`:
` color(chocolate) (rho_(B,u""u)) = class{fo} {(1/(2sqrt2))^2 + (1/(2sqrt2))^2 = 1/8 + 1/8 = 2/8 } = 1/4`
` color(chocolate) (rho_(B,ud)) = class{fo} {sqrt3/(2sqrt2) 1/(2sqrt2) + sqrt3/(2sqrt2) 1/(2sqrt2) = 2sqrt3/8 } = sqrt3/4 `
` color(chocolate) (rho_(B,du)) = class{fo} {1/(2sqrt2) sqrt3/(2sqrt2) + 1/(2sqrt2) sqrt3/(2sqrt2) = 2sqrt3/8 } = sqrt3/4 `
` color(chocolate) (rho_(B,dd)) = class{fo} {(sqrt3/(2sqrt2))^2 + (sqrt3/(2sqrt2))^2 = 3/8 + 3/8 = 6/8 } = 3/4`
` color (chocolate) ([bbrho_B] = [ (1/4, sqrt3/4), (sqrt3/4, 3/4)]) `
On a pour ` color(chocolate) (lambda=1) ` :
` [bbrho]vec v_1 = [(1/4, sqrt3/4), (sqrt3/4, 3/4)]((a), (b)) = ((a), (b)) ` pour `vec v_1 = ((a), (b)) `
d'où :
` 1/4 a + sqrt3/4 b = a => sqrt3/4 b = 3/4 a => b sqrt3 = 3a => b = 3/sqrt3 a = a sqrt3`
ce qui donne par exemple ` a=1, b=sqrt3 ` :
` vec v_1 = a "|"u> + b"|"d> = "|"u> + sqrt3 "|"d> `
` color(chocolate) (hat v_1 = 1/2 "|"u> + sqrt3 /2"|"d> ) ` pour respecter l'unitarité puisque ` sqrt(a^2+b^2) = sqrt(1+3) = 2 `
Ce ` hat v_1 ` est bien aussi notre ` "|"B>` recherché !
` color(deeppink) ("1-b)") ` la vérification de ` < sigma_x>^2 + < sigma_y>^2 + < sigma_z>^2 = 1 ` a été effectuée dans le Complément 3-3 . Elle s'applique ici au s/système d'Alice puisque le système complet est un état-produit.
L'égalité ` < tau_x>^2 + < tau_y>^2 + < tau_z>^2 = 1 ` s'applique de même au s/système de Bob.
` color(deeppink) ("1-c)") ` Vérification de la corrélation.
On se souvient que :
` "|"AB> = "|"A> otimes "|"B>` sachant que ` "|"A> = 1/sqrt2 "|"u> + 1/sqrt2 "|"d> ` et ` "|"B> = 1/2 "|"u> + sqrt3/2 "|"d> `
` = 1/(2sqrt2) "|"u""u> + sqrt3/(2sqrt2) "|"ud> + 1/(2sqrt2) "|"du> + sqrt3/(2sqrt2) "|"dd> `
On va prendre les observables de mesure de spin ` sigma_z ` et ` tau_z ` et on va vérifier :
` color(blue) (< sigma_z tau_z > = < sigma_z > < tau_z > )`
avec :
` color(chocolate) (< sigma_z tau_z > ) = < AB | sigma_z tau_z | AB > `
` color(green) (< sigma_z >) = < A | sigma_z | A > ` et ` color(purple) (< tau_z >) = < B | tau_z | B > `
Calculons ` color(chocolate) (< sigma_z tau_z > )` et d'abord ` < AB | sigma_z ` :
` < AB | sigma_z = ( 1/(2sqrt2) "<"u""u"|" + sqrt3/(2sqrt2) "<"ud"|" + 1/(2sqrt2) "<"du"|" + sqrt3/(2sqrt2) "<"dd"|" ) sigma_z `
Rappels :
` "<"ud"|" sigma_z ` se lit ` sigma_z "<"ud"|" ` et donc ` sigma_z "<"ud"|" = "<"ud"|" ` puisque ` sigma_z "<"u"|" = "<"u"|" `
` "<"ud"|" tau_z ` se lit ` tau_z "<"ud"|" ` et donc ` tau_z "<"ud"|" = -"<"ud"|" ` puisque ` tau_z "<"d"|" = -"<"d"|" `
On obtient donc :
` < AB | sigma_z = 1/(2sqrt2) "<"u""u"|" + sqrt3/(2sqrt2) "<"ud"|" - 1/(2sqrt2) "<"du"|" - sqrt3/(2sqrt2) "<"dd"|" `
et :
` tau_z "|"AB> = tau_z ( 1/(2sqrt2) "|"u""u> + sqrt3/(2sqrt2) "|"ud> + 1/(2sqrt2) "|"du> + sqrt3/(2sqrt2) "|"dd> ) `
` = 1/(2sqrt2) "|"u""u> - sqrt3/(2sqrt2) "|"ud> + 1/(2sqrt2) "|"du> - sqrt3/(2sqrt2) "|"dd> `
d'où :
` color(chocolate) (< sigma_z tau_z>) = (1/(2sqrt2) "<"u""u"|" + sqrt3/(2sqrt2) "<"ud"|" - 1/(2sqrt2) "<"du"|" - sqrt3/(2sqrt2) "<"dd"|") ( 1/(2sqrt2) "|"u""u> - sqrt3/(2sqrt2) "|"ud> + 1/(2sqrt2) "|"du> - sqrt3/(2sqrt2) "|"dd> ) `
` = cancel((1/(2sqrt2))^2) - (sqrt3/(2sqrt2))^2 - cancel((1/(2sqrt2))^2) + (sqrt3/(2sqrt2))^2`
` color(chocolate) (= 0) `
D'autre part :
` color(green) (< sigma_z >) = < A "|" sigma_z "|" A > `
` = ( "<"u"|"1/sqrt2 + "<"d"|"1/sqrt2) "|" sigma_z (1/sqrt2 "|"u">" + 1/sqrt2 "|"d">")`
` = ( "<"u"|"1/sqrt2 + "<"d"|"1/sqrt2) "|" (1/sqrt2 "|"u">" - 1/sqrt2 "|"d">")`
` = (1/sqrt2)^2 - (1/sqrt2)^2 `
`color(green) ( = 0 )`
et:
`color(purple) (< tau_z >) = < B "|" tau_z "|" B > `
` = ( "<"u"|"1/2 + "<"d"|"sqrt3/2) "|" tau_z (1/2 "|"u">" + sqrt3/2 "|"d">")`
` = ( "<"u"|"1/2 + "<"d"|"sqrt3/2) "|" (1/2 "|"u">" - sqrt3/2 "|"d">")`
` = (1/2)^2 - (sqrt3/2)^2 = 1/4 - 3/4`
`color(purple) (= -1/2 )`
d'où :
` < sigma_z> < tau_z> = 0 xx (-1/2) = 0 `
et la relation :
` color(blue) (< sigma_z tau_z> = < sigma_z> < tau_z>) ` est bien vérifiée.
Fiche état signalétique n°2 :
On a le singulet :
` color(blue) ( "|""sing"> = 1/sqrt2 (|ud> - |du>) )`
` color(deeppink) ( "2-a)" ` Pour calculer la matrice de densité du système complet on a donc :
` psi_(u""u)=0 psi_(ud)= 1/sqrt 2 ` et toutes les valeurs ` psi_(ab)^** = psi_(ab) ` puisque les `psi_(ab)` sont réelles.
` psi_(du)= -1/ sqrt2 psi_(dd)=0 `
avec les composantes de la matrice de densité du système complet :
` color() (rho_(u""u)) = (psi_(u""u)^**psi_(u""u) + psi_(ud)^**psi_(ud) ) + (psi_(u""d)^**psi_(u""u) + psi_(u""u)^**psi_(ud) )`
` color() (rho_(ud)) = (psi_(du)^**psi_(u""u) + psi_(dd)^**psi_(ud)) + (psi_(du)^**psi_(u""d) + psi_(dd)^**psi_(u""u))`
` color() (rho_(du)) = (psi_(u""u)^**psi_(du) + psi_(ud)^**psi_(dd)) + (psi_(u""u)^**psi_(dd) + psi_(ud)^**psi_(du))`
` color() (rho_(dd)) = (psi_(du)^**psi_(du) + psi_(dd)^**psi_(dd)) + (psi_(du)^**psi_(dd) + psi_(dd)^**psi_(du))`
Cela donne :
` color() (rho_(u""u)) = class {fo} {(0xx0 + 1/sqrt2 1/sqrt2) + ( 1/sqrt2 xx0 + 0xx 1/sqrt2 ) = 1/2 + 0 } = 1/2 `
` color() (rho_(ud)) = class {fo} {((-1/sqrt2)xx0 + 0xx(1/sqrt2)) + ( (-1/sqrt2)1/sqrt2 + 0xx0 ) = 0 - 1/2 } = -1/2 `
` color() (rho_(du)) = class {fo} {(0xx(- 1/sqrt2) + 1/sqrt2 xx0) + (0xx0 + (-1/sqrt2)1/sqrt2 ) = 0 - 1/2 } = -1/2 `
` color() (rho_(dd)) = class {fo} {((- 1/sqrt2)xx(- 1/sqrt2) + 0xx0) + ((-1/sqrt2)xx0 + 0xx(-1/sqrt2) ) = 1/2 + 0 } = 1/2 `
` color(blue) ( [bbrho_("Complet")]= [ ( 1/2, -1/2), (-1/2, 1/2) ] )` et ` color(blue) (Tr [bbrho_("Complet")]= 1/2+1/2 = 1 )`
` color(blue) ( [bbrho_("Complet")]^2 ) = 1/2[( 1, -1), (-1, 1) ]1/2[( 1, -1), (-1, 1) ] `
` = 1/4 [ (2, -2), (-2, 2)] = 1/2 [(1, -1), (-1, 1)] `
` color(blue) ( = [bbrho_("Complet")] )` et ` color(blue) (Tr [bbrho_("Complet")]^2= 1 )` donc le système complet est pur .
` color(deeppink) ( "2-b)" ` Pour calculer la matrice de densité d'Alice on a donc :
` psi_(u""u)=0 psi_(ud)= 1/sqrt 2 ` et toutes les valeurs ` psi_(ab)^** = psi_(ab) ` puisque les `psi_(ab)` sont réelles.
` psi_(du)= -1/ sqrt2 psi_(dd)=0 `
avec les composantes de la matrice de densité du s/système Alice:
` color() (rho_(u""u)) = psi_(u""u)^**psi_(u""u) + psi_(ud)^**psi_(ud) `
` color() (rho_(ud)) = psi_(du)^**psi_(u""u) + psi_(dd)^**psi_(ud)`
` color() (rho_(du)) = psi_(u""u)^**psi_(du) + psi_(ud)^**psi_(dd)`
` color() (rho_(dd)) = psi_(du)^**psi_(du) + psi_(dd)^**psi_(dd) `
Cela donne :
` color() (rho_(u""u)) = class {fo} {0xx0 + 1/sqrt2 1/sqrt2 } = 1/2 `
` color() (rho_(ud)) = class {fo} { (-1/sqrt2)xx0 + 0xx(1/sqrt2)} = 0 `
` color() (rho_(du)) = class {fo} {0xx(- 1/sqrt2) + 1/sqrt2 xx0 } = 0 `
` color() (rho_(dd)) = class {fo} {(- 1/sqrt2)xx(- 1/sqrt2) + 0xx0 } = 1/2 `
` color(blue) ( [bbrho_("Alice")]= [ ( 1/2, 0), (0, 1/2) ] )` et ` color(blue) ( Tr [bbrho_("Alice")]= 1/2+1/2 = 1 )`
` color(blue) ( [bbrho_("Alice")]^2= [ ( 1/4, 0), (0, 1/4) ] )` et ` color(blue) ( Tr [bbrho_("Alice")]^2 = 1/2 "<" 1 )` le s/système d'Alice est mixte ou imbriqué.
` color(deeppink) ( "2-c)" ` Les Espérances mathématiques des différents observables sont les suivantes :
` color(blue) (< sigma_z >) = 1/sqrt2 (< ud| - < du|)| sigma_z |1/sqrt2 (|ud> - |du>) `
avec :
` sigma_z 1/sqrt2 (|ud> - |du>) = 1/sqrt2 (sigma_z|ud> - sigma_z|du>) `
` = 1/sqrt2 (|ud> - |du>)`
et :
` color(blue) (< sigma_z >) = 1/sqrt2 (< ud| - < du|)1/sqrt2 (|ud> + |du>)`
` = 1/2( < ud"|"ud> + < ud"|"du> - < du"|"ud> - < du"|"du> )`
` = 1/2(1 + 0 - 0 - 1) `
` color(blue) ( = 0) `
De la même manière on trouve : ` color(blue) (< sigma_x> = 0 ) ` et ` color(blue) (< sigma_y > =0 ) `
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` color(chocolate) (< tau_z >) = 1/sqrt2 (< ud| - < du|)| tau_z |1/sqrt2 (|ud> - |du>) `
avec :
` tau_z 1/sqrt2 (|ud> - |du>) = 1/sqrt2 (tau_z|ud> - tau_z|du>) `
` = 1/sqrt2 (-|ud> - |du>)`
et :
` color(chocolate) (< tau_z >) = 1/sqrt2 (< ud| - < du|)1/sqrt2 (-|ud> - |du>)`
` = 1/2( - < ud"|"ud> - < ud"|"du> + < du"|"ud> + < du"|"du> )`
` = 1/2(-1 - 0 + 0 + 1) `
` color(chocolate) ( = 0) `
De la même manière on trouve aussi : ` color(chocolate) (< tau_x > = 0 ) ` et ` color(chocolate) (< tau_y > = 0 ) `
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` color(green) (<sigma_z tau_z >) = 1/sqrt2 (< ud| - < du|)| color(blue)(sigma_z) color (chocolate) (tau_z) |1/sqrt2 (|ud> - |du>) `
avec :
`color(chocolate)( tau_z) 1/sqrt2 (|ud> - |du>) = 1/sqrt2 (-|ud> - |du>) `
` 1/sqrt2 (< ud"|" - < du"|")"|" color(blue)(sigma_z) = 1/sqrt2 (< ud"|" + < du"|") `
donc :
` color(green) (<sigma_z tau_z >) = 1/sqrt2 (< ud| + < du|)1/sqrt2 (-|ud> - |du>)`
` = 1/2( - < ud"|"ud> - < ud"|"du> - < du"|"ud> - < du"|"du> )`
` = 1/2(-1 - 0 - 0 - 1) `
` color(green) ( = -1) `
Et aussi : ` color(green) (< sigma_x tau_x > = -1 ) ` et ` color(green) (< sigma_y tau_y > = -1 ) `
` color(deeppink) ( "2-d)"` Les Corrélations qui s'ensuivent sont donc :
` color(purple) (< sigma_x tau_x > - < sigma_x > < tau_x > = -1 ) `
` color(purple) (< sigma_y tau_y > - < sigma_y > < tau_y > = -1 ) `
` color(purple) (< sigma_z tau_z > - < sigma_z > < tau_z > = -1 ) `
soit une corrélation maximale entre les s/systèmes d'Alice et Bob.
Fiche état signalétique n°3 :
On a le "presque singulet" :
`color(brown) ( "|""sing"_p > = sqrt(0,6)|ud> - sqrt(0,4)|du>) )`
` color(deeppink) ( "3-a)" ` Pour calculer la matrice de densité du système complet on a donc :
` psi_(u""u)=0 psi_(ud)= sqrt(0,6) ` et toutes les valeurs ` psi_(ab)^** = psi_(ab) ` puisque les `psi_(ab)` sont réelles.
` psi_(du)= - sqrt(0,4) psi_(dd)=0 `
avec les composantes de la matrice de densité du système complet :
` color() (rho_(u""u)) = (psi_(u""u)^**psi_(u""u) + psi_(ud)^**psi_(ud) ) + (psi_(u""d)^**psi_(u""u) + psi_(u""u)^**psi_(ud) )`
` color() (rho_(ud)) = (psi_(du)^**psi_(u""u) + psi_(dd)^**psi_(ud)) + (psi_(du)^**psi_(u""d) + psi_(dd)^**psi_(u""u))`
` color() (rho_(du)) = (psi_(u""u)^**psi_(du) + psi_(ud)^**psi_(dd)) + (psi_(u""u)^**psi_(dd) + psi_(ud)^**psi_(du))`
` color() (rho_(dd)) = (psi_(du)^**psi_(du) + psi_(dd)^**psi_(dd)) + (psi_(du)^**psi_(dd) + psi_(dd)^**psi_(du))`
Cela donne :
` color() (rho_(u""u)) = class {fo} {(0xx0 + sqrt(0,6) sqrt(0,6)) + ( sqrt(0,6) xx0 + 0xx sqrt(0,6) ) = 0,6 + 0 } = 0,6 `
` color() (rho_(ud)) = class {fo} {((-sqrt(0,4))xx0 + 0xx(sqrt(0,6))) + ( (-sqrt(0,4))sqrt(0,6) + 0xx0 ) = 0 - sqrt(0,24) } = -sqrt(0,24) `
` color() (rho_(du)) = class {fo} {(0xx(- sqrt(0,4)) + sqrt(0,6) xx0) + (0xx0 + (-sqrt(0,4))sqrt(0,6) ) = 0 - sqrt(0,24) } = -sqrt(0,24) `
` color() (rho_(dd)) = class {fo} {((- sqrt(0,4))xx(- sqrt(0,4)) + 0xx0) + ((-sqrt(0,4))xx0 + 0xx(-sqrt(0,4)) ) = 0,4 + 0 } = 0,4 `
` color(brown) ( [bbrho_("Complet")]= [ ( "0,6", -sqrt(0,24)), (-sqrt(0,24), "0,4") ] )` et ` color(brown) (Tr [bbrho_("Complet")]= 0,6 + 0,4 = 1 )`
` color(brown) ( [bbrho_("Complet")]^2 ) = class {fo} { [( "0,6", -sqrt"(0,24)"), (-sqrt"(0,24)", "0,4") ][( "0,6", -sqrt"(0,24)"), (-sqrt"(0,24)", "0,4") ] }`
` = class {fo} { [ ( "(0,6)"^2 + "0,24", "0,6"(-sqrt"(0,24)") + "0,4"(-sqrt"(0,24)") ), ("0,6"(-sqrt"(0,24)") + "0,4"(-sqrt"(0,24)"), "0,24"+ "(0,4)"^2 )] = [( "0,36"+"0,24", ("0,6"+"0,4")(-sqrt"(0,24)")), ( ("0,6"+"0,4")(-sqrt"(0,24)") , "0,24"+ "0,16")] }`
` = class {fo} { [( "0,6", -sqrt"(0,24)"), (-sqrt"(0,24)", "0,4") ] }`
` color(brown) ( = [bbrho_("Complet")] )` et ` color(brown) (Tr [bbrho_("Complet")]^2= 1 )` donc le système complet est pur .
Ce n'est PAS le résultat attendu dans le tableau p 225. Mais c'est une coquille (dans l'édition originale américaine ici on a bien ` [bbrho]^2 = [bbrho] ` ) car on est "presque" dans le même cas que la Fiche n°2 puisque le système complet est dans un état "partiellement" intriqué.
Comme cela créait une petite confusion je me suis donc fait un petit RÉSUMÉ pour faire le point :
Définition :
Un système ou un s/système est PUR si on connait entièrement sa fonction d'onde et donc si son unitarité est vérifiée.
A savoir : ` sum_(ab) psi_(ab)^** psi_(ab) = 1 ` comme dans notre cas ici, avec ` class{fo} { sqrt(0,6)sqrt(0,6)+(-sqrt(0,4))(-sqrt(0,4)) = 1 }`
Propriétés :
1- Si un système ou un s/système est PUR les valeurs propres de son opérateur de densité sont 0 et 1.
` => ` C'est pour cela (p 208) que pour un "état-produit" les s/systèmes d'Alice et Bob ont des opérateurs de densité avec les valeurs propres 0 et 1. On arrive à décomposer l'état complet en deux s/systèmes en connaissant pour chacun sa fonction d'onde (chacun est PUR).
2- Pour un système ou un s/système PUR, on a la relation ` [bbrho]^2 = [bbrho] ` ainsi que ` Tr (rho) = 1 `.
3- Dans une matrice de densité ` [bbrho] ` les éléments diagonaux sont la probabilité de se retrouver dans un état donné après une mesure.
4- Et dans le cas d'intrication maximale les éléments diagonaux sont égaux ( 1/2 dans notre cas ici, plus généralement 1/N pour une matrice de dimension N). Il y a la même probabilité de se retrouver dans un état donné après une mesure. C'est l'information minimum.
Ces ÉCLAIRCISSEMENTS m'ont été nécessaires car j'ai trouvé ce chapitre très dense.
` color(deeppink) ( "3-b)" ` Pour calculer la matrice de densité d'Alice on a donc :
` psi_(u""u)=0 psi_(ud)= sqrt(0,6) ` et toutes les valeurs ` psi_(ab)^** = psi_(ab) ` puisque les `psi_(ab)` sont réelles.
` psi_(du)= -sqrt(0,4) psi_(dd)=0 `
avec les composantes de la matrice de densité du s/système Alice:
` color() (rho_(u""u)) = psi_(u""u)^**psi_(u""u) + psi_(ud)^**psi_(ud) `
` color() (rho_(ud)) = psi_(du)^**psi_(u""u) + psi_(dd)^**psi_(ud)`
` color() (rho_(du)) = psi_(u""u)^**psi_(du) + psi_(ud)^**psi_(dd)`
` color() (rho_(dd)) = psi_(du)^**psi_(du) + psi_(dd)^**psi_(dd) `
Cela donne :
` color() (rho_(u""u)) = class {fo} {0xx0 + sqrt(0,6) sqrt(0,6) } = 0,6 `
` color() (rho_(ud)) = class {fo} { (-sqrt(0,4))xx0 + 0xx(sqrt(0,6))} = 0 `
` color() (rho_(du)) = class {fo} {0xx(- sqrt(0,4)) + sqrt(0,6) xx0 } = 0 `
` color() (rho_(dd)) = class {fo} {(- sqrt(0,4))xx(- sqrt(0,4)) + 0xx0 } = 0,4 `
` color(brown) ( [bbrho_("Alice")]= [ ( "0,6", 0), (0, "0,4") ] )` et ` color(brown) ( Tr [bbrho_("Alice")]= 0,6 + 0,4 = 1 )`
` color(brown) ( [bbrho_("Alice")]^2= [ ( "0,36", 0), (0, "0,16") ] )` et ` color(brown) ( Tr [bbrho_("Alice")]^2 = 0,52 "<" 1 )`
` color(deeppink) ( "3-c)" ` Dans l'état `color(brown) ( "|" "sing"_p > = sqrt(0,6)|ud> - sqrt(0,4)|du>) )` les Espérances mathématiques des différents observables sont les suivantes :
` color(blue) (< sigma_z >) = ( sqrt(0,6) < ud| - sqrt(0,4) < du|)| sigma_z otimes I | ( sqrt(0,6)|ud> - sqrt(0,4) |du>) `
avec :
` sigma_z ( sqrt(0,6)|ud> - sqrt(0,4) |du>) = (sqrt(0,6) sigma_z|ud> - sqrt(0,4) sigma_z|du>) `
` = (sqrt(0,6) |ud> - sqrt(0,4)(- |du>))`
` = (sqrt(0,6) |ud> + sqrt(0,4)|du>)`
et :
` color(blue) (< sigma_z >) = ( sqrt(0,6)< ud| - sqrt(0,4) < du|) (sqrt(0,6) |ud> + sqrt(0,4) |du>) `
` = class{fo} {(0,6 + 0 - 0 - 0,4) }`
` color(blue) ( = 0,2) ` comme trouvé dans l'exercice 7.11 .
Par contre on trouve : ` color(blue) (< sigma_x> = 0 ) ` et ` color(blue) (< sigma_y > =0 ) `
En effet :
` color(blue) (< sigma_x >) = ( sqrt(0,6) < ud| - sqrt(0,4) < du|)| sigma_x otimes I | ( sqrt(0,6)|ud> - sqrt(0,4) |du>) `
avec :
` sigma_x ( sqrt(0,6)|ud> - sqrt(0,4) |du>) = (sqrt(0,6) sigma_x|ud> - sqrt(0,4) sigma_x|du>) `
` = (sqrt(0,6) |dd> - sqrt(0,4)|u""u>))`
et :
` color(blue) (< sigma_x >) = ( sqrt(0,6)< ud| - sqrt(0,4) < du|) (sqrt(0,6) |dd> - sqrt(0,4) |u""u>)`
` = (0,6)< ud|dd> + sqrt(0,24)< ud|u""u> - sqrt(0,24)< du|dd> + 0,4< du|u""u> `
` = class{fo} {(0,6xx0 + sqrt(0,24)xx0 - sqrt(0,24)xx0 + 0,4xx0) }`
` color(blue) ( = 0) `
Quant à ` color(blue) (< sigma_y > )` pour faire les calculs autrement :
` sigma_y "|" ud> = i |dd> `
` sigma_y "|" du> = i |u""u> `
Comme ces deux vecteurs sont "perpendiculaires" à ` |ud> ` et ` |du>` cela entraine ` color(blue) (< sigma_y > = 0)`
- - - - - - - -
` color(chocolate) (< tau_z >) = (sqrt(0,6)< ud| - sqrt(0,4)< du|)| I otimes tau_z | (sqrt(0,6)|ud> - sqrt(0,4)|du>) `
avec :
` tau_z (sqrt(0,6)|ud> - sqrt(0,4)|du>) = sqrt(0,6) tau_z|ud> - sqrt(0,4) tau_z|du> `
` = -sqrt(0,6)|ud> - sqrt(0,4)|du>`
et :
` color(chocolate) (< tau_z >) = (sqrt(0,6)< ud| - sqrt(0,4)< du|)(-sqrt(0,6)|ud> - sqrt(0,4)|du>)`
` = -0,6 + 0,4 `
` color(chocolate) ( = -0,2) `
Quant à ` color(chocolate) (< tau_x > )` pour faire les calculs autrement :
` tau_x "|" ud> = |u""u> `
` tau_x "|" du> = |dd> `
Comme ces deux vecteurs sont "perpendiculaires" à ` |ud> ` et ` |du>` cela entraine ` color(chocolate) (< tau_x > = 0)`
Quant à ` color(chocolate) (< tau_y > )` de la même manière :
` tau_y "|" ud> = -i|u""u> `
` tau_y "|" du> = i|dd> `
Comme ces deux vecteurs sont "perpendiculaires" à ` |ud> ` et ` |du>` cela entraine ` color(chocolate) (< tau_y > = 0)`
- - - - - - - -
` color(green) (<sigma_z tau_z >) = (sqrt(0,6)< ud| - sqrt(0,4)< du|)| sigma_z tau_z | (sqrt(0,6)|ud> - sqrt(0,4)|du>) `
` = (sqrt(0,6)< ud| + sqrt(0,4)< du|)(-sqrt(0,6)|ud> - sqrt(0,4)|du>)`
` = -0,6 - 0,4 `
` color(green) ( = -1) `
` color(green) (<sigma_x tau_x >) = (sqrt(0,6)< ud| - sqrt(0,4)< du|)| sigma_x tau_x | (sqrt(0,6)|ud> - sqrt(0,4)|du>) `
` = (sqrt(0,6)< dd| - sqrt(0,4)< u""u|)(sqrt(0,6)|u""u> - sqrt(0,4)|dd>)`
` = -sqrt(0,6)sqrt(0,4) - sqrt(0,4)sqrt(0,6) `
` color(green) ( = -2sqrt(0,24)) `
` color(green) (<sigma_y tau_y >) = (sqrt(0,6)< ud| - sqrt(0,4)< du|)| sigma_y tau_y | (sqrt(0,6)|ud> - sqrt(0,4)|du>) `
` = (i sqrt(0,6)< dd| + i sqrt(0,4)< u""u|)(-i sqrt(0,6)|u""u> -i sqrt(0,4)|dd>)`
` = -i^2 sqrt(0,6)sqrt(0,4) -i^2 sqrt(0,4)sqrt(0,6) `
` color(green) ( = +2 sqrt(0,24)) `
` color(deeppink) ( "3-d)" ` Les Corrélations qui s'ensuivent sont donc :
` color(purple) (< sigma_x tau_x > - < sigma_x > < tau_x >) = -2sqrt(0,24) - 0 `
` color(purple) ( = -2sqrt(0,24) ) = ~~ -0,98`
` color(purple) (< sigma_y tau_y > - < sigma_y > < tau_y > ) = +2sqrt(0,24) - 0 `
` color(purple) ( = +2sqrt(0,24) ) = ~~ +0,98`
` color(purple) (< sigma_z tau_z > - < sigma_z > < tau_z > ) = -1 -0,2 (-0,2) = -1 + 0,04 `
` color(purple) ( = -0,96) `
soit une corrélation très forte entre les s/systèmes d'Alice et Bob.