Visualisation de l'équation (7.16) page 194 : ` < bbL> = sum_(a, a^', b)psi^**(a^'b) L_(a^'a) psi(ab) `

Cette formule est la formule restreinte de la formule générale ` < bbL> = sum_(a, a^', b, b^')psi^**(a^'b^') L_(a^'b^', ab)  psi(ab) ` mais limitée à Alice .

L'objectif annoncé étant qu'Alice ait une observable qui ne concerne que son sous-système A (les "a" et "a'"), et qui n'a aucune action sur le sous-système B de Bob (les "b" et "b'") lorsqu'elle est mesurée.

Comme cette formule restreinte ne saute pas aux yeux, développons-la pour voir ce que l'on obtient en développant le signe `sum` :

` color(blue) (sum_(a, a^', b) )`

- 1er terme :  ` color(brown) ( a^' = u ), color(green) (  a = u ),  color(deeppink) (b=u,d)`

`psi_( color (brown)(u) color(deeppink)(u) )^**  L_( color (brown)(u) color (green)(u)) psi_( color (green)(u) color (deeppink)(u) )  +   psi_( color (brown)(u) color (deeppink)(d) )^**  L_( color(brown)(u) color (green)(u) ) psi_( color (green)(u) color (deeppink)(d) )`

- 2ème terme :  ` color(brown) ( a^' = u ), color(green) (  a = d ),  color(deeppink) (b=u,d)`

`psi_( color (brown)(u) color(deeppink)(u) )^**  L_( color (brown)(u) color (green)(d)) psi_( color (green)(d) color (deeppink)(u) ) +   psi_( color (brown)(u) color (deeppink)(d) )^**  L_(color(brown)(u) color (green)(d) ) psi_( color (green)(d) color (deeppink)(d) )`

- 3ème terme :  ` color(brown) ( a^' = d ), color(green) (  a = u ),  color(deeppink) (b=u,d)`

`psi_( color (brown)(d) color(deeppink)(u) )^**  L_( color (brown)(d) color (green)(u)) psi_( color (green)(u) color (deeppink)(u) ) +   psi_( color (brown)(d) color (deeppink)(d) )^**  L_(color(brown)(d) color (green)(u) ) psi_( color (green)(u) color (deeppink)(d) )`

- 4ème terme :  ` color(brown) ( a^' = d ), color(green) (  a = d ),  color(deeppink) (b=u,d)`

`psi_( color (brown)(d) color(deeppink)(u) )^**  L_( color (brown)(d) color (green)(d)) psi_( color (green)(d) color (deeppink)(u) )  +   psi_( color (brown)(d) color (deeppink)(d) )^**  L_(color(brown)(d) color (green)(d) ) psi_( color (green)(d) color (deeppink)(d) )`

En mettant la composante de `L` en facteur, on obtient :

` < bbL> = sum_(a, a^', b)psi^**(a^'b) L_(a^'a) psi(ab) `

`= L_( color (brown)(u) color (green)(u))  ( psi_( color (brown)(u) color(deeppink)(u) )^** psi_( color (green)(u) color (deeppink)(u) )  +   psi_( color (brown)(u) color (deeppink)(d) )^**  psi_( color (green)(u) color (deeppink)(d) ) )`

`+ L_( color (brown)(u) color (green)(d))   ( psi_( color (brown)(u) color(deeppink)(u) )^**  psi_( color (green)(d) color (deeppink)(u) ) +   psi_( color (brown)(u) color (deeppink)(d) )^**  psi_( color (green)(d) color (deeppink)(d) ) )`

`+ L_( color (brown)(d) color (green)(u))  ( psi_( color (brown)(d) color(deeppink)(u) )^** psi_( color (green)(u) color (deeppink)(u) ) +   psi_( color (brown)(d) color (deeppink)(d) )^**  psi_( color (green)(u) color (deeppink)(d) ) )`

`+ L_( color (brown)(d) color (green)(d))  ( psi_( color (brown)(d) color(deeppink)(u) )^** psi_( color (green)(d) color (deeppink)(u) )  +   psi_( color (brown)(d) color (deeppink)(d) )^** psi_( color (green)(d) color (deeppink)(d) ) )`

On retrouve l'autre forme de l'espérance mathématique de l'observable `bbL` :

` < bbL> = sum_(a, a^') L_(a^'a)  rho_(a a^') `   l'indice `b` n'apparaissant plus puisqu'il est intégré dans ` color(blue) (rho_(a a^') ) = Sigma_(b) psi^**(a^'b) psi(ab)`

avec :

` color(blue) ( rho_(u"u") ) =   ( psi_( color (brown)(u) color(deeppink)(u) )^** psi_( color (green)(u) color (deeppink)(u) )  +   psi_( color (brown)(u) color (deeppink)(d) )^**  psi_( color (green)(u) color (deeppink)(d) ) )`

` color(blue) ( rho_(du) ) =   ( psi_( color (brown)(u) color(deeppink)(u) )^**  psi_( color (green)(d) color (deeppink)(u) ) +   psi_( color (brown)(u) color (deeppink)(d) )^**  psi_( color (green)(d) color (deeppink)(d) ) )`   c'est bien ` color(blue) ( rho_(du) )` car les coeficcients `a` et `a^'` de `L_(a^'a)` et `rho_(aa^')` sont inversés.

` color(blue) ( rho_(ud) ) =   ( psi_( color (brown)(d) color(deeppink)(u) )^** psi_( color (green)(u) color (deeppink)(u) ) +   psi_( color (brown)(d) color (deeppink)(d) )^**  psi_( color (green)(u) color (deeppink)(d) ) )`   c'est bien ` color(blue) ( rho_(ud) )` pour la même raison.

` color(blue) ( rho_(dd) ) =   ( psi_( color (brown)(d) color(deeppink)(u) )^** psi_( color (green)(d) color (deeppink)(u) )  +   psi_( color (brown)(d) color (deeppink)(d) )^** psi_( color (green)(d) color (deeppink)(d) ) )`

Il ne reste plus maintenant qu'à obtenir la forme des composantes de ` bbL_(aa^')` , ce qui sera fait dans un autre complément.

Mais ce qui me tracasse, c'est la présence des indices "b" et "b'" dans ` rho_(aa^') ` puisque la mesure de l'observable d'Alice est censée n'avoir aucune action sur le sous-système de Bob !

Des compléments seraient les bienvenus. Merci d'avance.